微专题18极值点偏移.docx
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1、微专题18 极值点偏移【知识拓展】已知f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0,若f(x)c的两根的中点刚好满足x0,即极值点在两根的正中间,也就是说极值点没有偏移,此时f(x)在xx0两侧,函数值变化快慢相同,如图(1)所示;若x0,则极值点偏移,此时函数f(x)在xx0两侧,函数值变化快慢不同,如图(2)(3)所示.【类型突破】类型一对称化构造例1 已知h(x)ln xax的两个零点分别为x1,x2,证明:x1x2e2.证明h(x)ln xax(x0),则h(x)的两个零点分别为x1,x2.h(x)a.当a0时,h(x)0,h(x)在(0,)上单调递增,不存在两个零点;当a0时,h(x)在上
2、单调递增,在上单调递减,则h(x)maxhln 10,得0a.设x1e2,即证ln x1ln x2a(x1x2)2,即证x1x2,即证x2x1,即证h(x1)h(x2)h.令F(x)hh(x)lnaln xaxln ln x2ax2,x.则F(x)0.因为F(x1)hh(x1)0,故x1x2e2成立.规律方法对称化构造主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:(1)定函数(极值点为x0),即利用导函数符号的变化判断函数的单调性,进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数,即根据极值点构造对称函数F(x)f(x)f(2x0x),若证x1x2x,则令F(x)f(x)f.
3、(3)判断单调性,即利用导数讨论F(x)的单调性.(4)比较大小,即判断函数F(x)在某段区间上的正负,并得出f(x)与f(2x0x)的大小关系.(5)转化,即利用函数f(x)的单调性,将f(x)与f(2x0x)的大小关系转化为x与2x0x之间的关系,进而得到所证或所求.训练1 已知函数f(x)xex.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若x1x2,且f(x1)f(x2),求证:x1x22.(1)解f(x)(1x)ex,则由f(x)1,由f(x)0,得x1,所以f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,f(x)的极大值是f(1),无极小值.(2)证明不妨设x1x2,由(1)知x1
4、1,要证x1x22,即证x22x1,即证f(x1)f(x2)f(2x1).构造F(x)f(2x)f(x)(2x)ex2xex,x1,则F(x)(1x)(ex2ex)F(1)0,故F(x1)f(2x1)f(x1)0,x1f(x1)f(x2),故x1x22.类型二比(差)值换元例2 (2023青岛模拟)已知函数f(x)2ln x1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,x0为其极值点,证明:2f(x0).(1)解f(x)2ln x1,f(x)(x0),当a0时,f(x)0,f(x)在(0,)上为减函数.当a0得0x,f(x)在(0,)上单调递增;由f(x),f(x
5、)在(,)上单调递减.(2)证明由(1)可知a0,即1a0,h(x)单调递增;当x(1,)时,h(x)0,h(x)单调递减,h(x)maxh(1)10,从而ln xx,2f(x0)4ln()2lnx10,则要证明2f(x0),只需要证明2.即证明ln ,也就是证明ln ,设t,t(1,),则只需证明ln t(t1),设g(t)ln t(t1),则g(t)0,g(t)在(1,)上为增函数,从而g(t)g(1)0,ln t成立,从而2f(x0).规律方法比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参、减元的目的.一般用t表示两个极值点之比
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