专题11 余弦定理(6大考点知识串讲+热考题型+专题训练)-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练(苏教版2019).docx
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1、专题11 余弦定理知识聚焦考点聚焦知识点1 余弦定理1、公式表达:a2b2c22bccos A,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC2、语言叙述:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍【注意】余弦定理的特点(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立(2)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量3、余弦定理推论:cos A,cos B,cos C4、余弦定理的推导示例:在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c如图,因为AC=AB+BC,AC
2、2=AB+BC2,即AC2=AB2+BC2+2ABBC=AB2+BC2+2ABBCcos180-B从而b2=a2+c2-2accosB同理,根据AB=AC+CB,BC=BA+AC,可以得到c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA知识点2 解三角形1、解三角形定义:一般地,三角形的三个角A,B,C和她们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2、余弦定理在解三角形中的应用(1)类型1:已知两边及一角,解三角形方法概要:先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求出其余角;二是利用正弦定理(已知两边
3、和一边的对角)求解;(2)类型2:已知三边解三角形法一:已知三边求角的基本思路是:利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,角为锐角;值为负,角为钝角,其思路清晰,结果唯一法二:若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边求解3、判断三角形形状时常用到的结论(1)为直角三角形或或(2)为锐角三角形,且,且(3)为钝角三角形,且,且(4)若,则或 考点剖析考点1 已知两边及一角解三角形【例1】(2023陕西西安高一阶段练习)在中,角的对边分别是,已知,则等于()A1 B2 C D【变式1-1】(2023江西萍乡高一统考期中)设内角,所对的边分别
4、为,若,则边()A1 B2 C1或2 D【变式1-2】(2023宁夏固原高一校考期中)在中, ,则()A9 B C D3【变式1-3】(2023山东青岛高一校联考期中)在中,则()A B C D考点2 已知三边解三角形【例2】(2023河北邢台高一统考期中)在中,则()A B C D【变式2-1】(2023吉林通化高一校考阶段练习)在中,已知,则角为()A B C D【变式2-2】(2023江西高一校联考期末)已知中角所对的边分别为,若,则.【变式2-3】(2023海南高一校考阶段练习)在中,则最大角的余弦值为.考点3 求边或角的取值范围【例3】(2023四川成都高一树德中学校考期末)已知钝角
5、的角,所对的边分别为,则最大边的取值范围为()A B C D【变式3-1】(2023全国高一随堂练习)在钝角中,角所对的边分别为,若,则最大边的取值范围是()A B C D【变式3-2】(2023吉林通化高一校考阶段练习)在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则角B的取值范围是()A B C D【变式3-3】(2023安徽滁州高一校考阶段练习)若钝角的内角,满足,且最大边长与最小边长的比值为,则的取值范围是()A B C D考点4 判断三角形形状【例4】(2023甘肃定西高一临洮中学校考阶段练习)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则是()A等边三角形 B钝角三角形 C等腰不
6、等边三角形 D直角三角形【变式4-1】(2023重庆长寿高一统考期末)在已知分别为的三个内角的对边,若,则是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形【变式4-2】(2023陕西宝鸡高一统考期末)在中,角的对边分别为,且,则为()A等腰三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形【变式4-3】(2023河南郑州高一中牟县第一高级中学校考阶段练习)在中,角的对边分别为,若,则的形状为()A直角三角形 B等腰直角三角形 C等边三角形 D钝角三角形考点5 余弦定理的实际应用【例5】(2023湖北高一荆州中学校联考期中)宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会
7、开幕式,将中心内一块平面四边形区域设计灯带已知灯带米,米, 米,且,则()A B C D【变式5-1】(2023河南开封高一统考期中)曲柄连杆结构的示意图如图所示,当曲柄OA在水平位置OB时,连杆端点P在Q的位置,当OA自OB顺时针旋转角时,P和Q之间的距离是cm,若cm,cm,请写出一个满足题意的角的值.【变式5-2】(2023江苏镇江高一江苏省扬中高级中学校联考期中)如图,梯形顶点在以为直径的半圆上,米,若电热丝由三条线段这三部分组成,在上每米可辐射单位热量,在上每米可辐射2单位热量,当电热丝辐射的总热量最大时,的长度为 ()A B C D【变式5-3】(2023江苏南通高一统考期中)如图
8、,半圆的直径为,为直径延长线上的点,为半圆上任意一点,以为一边作等边三角形设(1)当为何值时,四边形的面积最大,并求出面积的最大值;(2)克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号,根据以上材料,则当线段的长取最大值时,求考点6 余弦定理与平面图形相结合【例6】(2023宁夏银川高一校考阶段练习)如图,已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,若边上的中线,则的长为()A B C D【变式6-1】(2023浙江台州高一统考期末)如图,在中,D是BC的中点,E是AC上的点,则()
9、A B C D【变式6-2】(2023四川成都高一石室中学校考期末)在平面四边形中,则的最大值为.【变式6-3】(2023云南昆明高一昆明市第一中学西山学校校考阶段练习)在中,内角所对的边分别是,(1)求;(2)若,且的平分线上的点满足,求 过关检测一、单选题1(2023湖南长沙高一长沙一中校考期末)在中,则最长边()A B C或 D2(2023北京大兴高一统考期中)在中,则()A B C D3(2023辽宁沈阳高一校联考期末)在中,角,所对的边分别为,若,则角等于()A B C D4(2023湖北十堰高一统考期末)已知,在钝角中,则的取值范围是()A B C D5(2023四川达州高一统考期
10、末)在中,若,则的最小值是()A1 B C D16(2023江苏宿迁高一统考期末)在中,角所对的边分别为若,则为()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形7(2023河南周口高一统考期末)如图,在等腰中,M为上的动点,则y关于x的函数解析式是()A() B()C() D()8(2023全国高一课时练习)世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语:),在世界上最大的瑞典太阳系模型中,由该体育馆代表太阳的位置,其外形像一个大高尔夫球,可容纳16000名观众观看表演和演唱会,或14119名观众观看冰上曲棍球比赛某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径
11、,在体育馆外围测得,(其中,四点共面),据此可估计该体育馆的直径大约为()(参考数据:,)A B C D二、多选题9(2023湖北恩施高一校联考期中)钝角的内角、的对边分别为、,若,且,则的值可能为()A B C D10(2023四川达州高一万源中学校考期中)已知分别是的内角的对边,且,则()A B C面积的最大值为 D面积的最大值为11(2023辽宁锦州高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习)中,内角的对边分别为边上的中线,则下列说法正确的有()A B C D的最大值为12(2023广东云浮高一校考阶段练习)已知中,D在AC上,BD为ABC的角平分线,E为BC中点,下列结论正确的是()A的面积
12、为 B C D三、填空题13(2023北京朝阳高一统考期末)在中,则;14(2023全国高一随堂练习)在中,内角的对边分别为,若,则当有唯一解时,的取值范围是15(2023黑龙江绥化高一校考阶段练习)如图所示,点A是等边外一点,且,则的周长为16(2023江苏南通高一统考期末)在中,角的对边分别为为的中点,则的周长为四、解答题17(2023广西河池高一统考期末)在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.(1)若,求的值;(2)若,求角B,C的大小.18(2023全国高一随堂练习)在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)若,求A;(2)若,求证:.19(2023吉林辽源
13、高一校考阶段练习)在中,内角所对的边分别为,已知已知.(1)求角的大小;(2)若,求的值;(3)若,判断的形状20(2023浙江台州高一统考期末)在锐角中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,.(1)求证:;(2)求的取值范围.21(2023云南玉溪高一统考期末)如图,在梯形中,(1)求CD;(2)平面内点P在直线CD的上方,且满足,求的最大值22(2023河南南阳高一统考期末)记的内角,所对的边分别是,已知(1)求角的大小;(2)若点在边上,平分,且,求专题11 余弦定理知识聚焦考点聚焦知识点1 余弦定理1、公式表达:a2b2c22bccos A,b2a2c22accosB,c2a2b22a
14、bcosC2、语言叙述:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍【注意】余弦定理的特点(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立(2)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量3、余弦定理推论:cos A,cos B,cos C4、余弦定理的推导示例:在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c如图,因为AC=AB+BC,AC2=AB+BC2,即AC2=AB2+BC2+2ABBC=AB2+BC2+2ABBCcos180-B从而b2=a2+c2-2accosB同理,
15、根据AB=AC+CB,BC=BA+AC,可以得到c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA知识点2 解三角形1、解三角形定义:一般地,三角形的三个角A,B,C和她们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2、余弦定理在解三角形中的应用(1)类型1:已知两边及一角,解三角形方法概要:先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求出其余角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解;(2)类型2:已知三边解三角形法一:已知三边求角的基本思路是:利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,角为锐角;值
16、为负,角为钝角,其思路清晰,结果唯一法二:若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边求解3、判断三角形形状时常用到的结论(1)为直角三角形或或(2)为锐角三角形,且,且(3)为钝角三角形,且,且(4)若,则或 考点剖析考点1 已知两边及一角解三角形【例1】(2023陕西西安高一阶段练习)在中,角的对边分别是,已知,则等于()A1 B2 C D【答案】B【解析】由余弦定理,将,代入得,则有,且,解得.故选:B.【变式1-1】(2023江西萍乡高一统考期中)设内角,所对的边分别为,若,则边()A1 B2 C1或2 D【答案】C【解析】在中,由余弦定
17、理得:整理得,解得:或.检验或满足题意,故选:C.【变式1-2】(2023宁夏固原高一校考期中)在中, ,则()A9 B C D3【答案】D【解析】由题意知中,故,故,故选:D【变式1-3】(2023山东青岛高一校联考期中)在中,则()A B C D【答案】D【解析】由题意得,由余弦定理得,所以,故选:D考点2 已知三边解三角形【例2】(2023河北邢台高一统考期中)在中,则()A B C D【答案】A【解析】由余弦定理得故选:A【变式2-1】(2023吉林通化高一校考阶段练习)在中,已知,则角为()A B C D【答案】B【解析】由及余弦定理的推论,得,因为,所以,故选:B.【变式2-2】(
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