专题05 数列放缩(精讲精练)(解析版).docx
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1、专题05 数列放缩【命题规律】数列放缩是高考重点考查的内容之一,数列与不等式综合热门难题(压轴题),有所降温,难度趋减,将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手,若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形;在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢【核心考点目录】核心考点一:先求和后放缩核心考点二:裂项放缩核心考点三:等比放缩核心考点四:型不等式的证明核心考点五:型不等式的证明核心考点六:型不等式的证明核心考点七:型不等式的证明【真题回归】1、(2022全国高考真题)已知函数(1)当时,讨论的单调性;(2)当时,求a的取值范围;(3)
2、设,证明:【解析】(1)当时,则,当时,当时,故的减区间为,增区间为.(2)设,则,又,设,则,若,则,因为为连续不间断函数,故存在,使得,总有,故在为增函数,故,故在为增函数,故,与题设矛盾.若,则,下证:对任意,总有成立,证明:设,故,故在上为减函数,故即成立.由上述不等式有,故总成立,即在上为减函数,所以.当时,有,所以在上为减函数,所以.综上,.(3)取,则,总有成立,令,则,故即对任意的恒成立.所以对任意的,有,整理得到:,故,故不等式成立.2、(2022全国高考真题)记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列(1)求的通项公式;(2)证明:【解析】(1),,又是公差为的等差数列,,
3、当时,,整理得:,即,,显然对于也成立,的通项公式;(2) 3、(2021天津高考真题)已知是公差为2的等差数列,其前8项和为64是公比大于0的等比数列,(I)求和的通项公式;(II)记,(i)证明是等比数列;(ii)证明【解析】(I)因为是公差为2的等差数列,其前8项和为64所以,所以,所以;设等比数列的公比为,所以,解得(负值舍去),所以;(II)(i)由题意,所以,所以,且,所以数列是等比数列;(ii)由题意知,所以,所以,设,则,两式相减得,所以,所以.4、(2021全国高考真题(文)设是首项为1的等比数列,数列满足已知,成等差数列(1)求和的通项公式;(2)记和分别为和的前n项和证明
4、:【解析】(1)因为是首项为1的等比数列且,成等差数列,所以,所以,即,解得,所以,所以.(2)方法一:作差后利用错位相减法求和,设,则由-得所以因此故方法二【最优解】:公式法和错位相减求和法证明:由(1)可得,得 ,所以,所以,所以.方法三:构造裂项法 由()知,令,且,即,通过等式左右两边系数比对易得,所以则,下同方法二方法四:导函数法设,由于,则又,所以,下同方法二【整体点评】本题主要考查数列的求和,涉及到等差数列的性质,错位相减法求数列的和,考查学生的数学运算能力,是一道中档题,其中证明不等式时采用作差法,或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择,关键是要看如何消项化简的更为简洁.(2)
5、的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和,进而证得结论;方法二根据数列的不同特点,分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解;方法三采用构造数列裂项求和的方法,关键是构造,使,求得的表达式,这是错位相减法的一种替代方法,方法四利用导数方法求和,也是代替错位相减求和法的一种方法.【方法技巧与总结】常见放缩公式:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13)(14)(15)二项式定理由于,于是,;,(16)糖水不等式若,则;若,则【核心考点】核心考点一:先求和后放缩例1(2022全国模拟预测)己知为等比数列的前n项和,若
6、,成等差数列,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,且数列的前n项和为,证明:.【解析】(1)设数列的公比为q,由,成等差数列可得,故,解得,由可得,解得,故,即数列的通项公式为.(2)由(1)可得,故.当时,取得最大值,当时, 故.例2(2022江苏南京模拟预测)记数列的前项和为,已知,.(1)求的通项公式;(2)记数列的前项和为,证明:.【解析】(1)由,两边同时除以可得:,故数列为以为公差的等差数列,则,即,当时,将代入上式,可得,则满足上式,故数列的通项公式.(2)由,则,即,两式相减可得,则,由(1)可得,令,则数列为递增数列,则,即;,令,易知数列为递减数列,则,即.综上,不等式恒
7、成立.例3(2022重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知数列满足,的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,记,证明:.【解析】(1)依题意,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,当时,由得,两式相减并化简得,也符合上式,所以.(2),两式相减得,所以.例4(2022黑龙江海伦市第一中学高三期中)在各项均为正数的数列中,且(1)求的通项公式;(2)若,数列的前n项和为,证明:【解析】(1)因为各项为正数,所以上式两边同时除以,得,令,则,即,解得(负值舍去),所以,又,所以是以,的等比数列,故.(2)由(1)得,所以,因为,则,所以.例5(2022山西临汾高三阶段练习)在各项均为正数的等
8、比数列中,为其前n项和,成等差数列(1)求的通项公式;(2)若,数列的前n项和为,证明:【解析】(1)设数列的公比为q,由题意知,即,因为,所以,所以,所以(2)证明:由(1)得,所以,所以,所以显然单调递增,所以,因为,所以,所以例6(2022浙江慈溪中学高三期中)已知数列的前项和为,若,(1)求数列的通项公式;(2)证明:.【解析】(1)当时,相减得当时,符合上式所以.当时,当时,符合上式.故(2)由(1)知:所以核心考点二:裂项放缩例7(2022天津市新华中学高三阶段练习)已知为数列的前项和,且,数列前项和为,且,.(1)求和的通项公式;(2)设,设数列的前项和为,求;(3)证明:.【解
9、析】(1)由,当时,当时,检验时,所以;因为,(),所以,即(),而,故满足上式,所以是以,公比等于的等比数列,即;(2)因为,所以,所以;(3)因为,.所以 ,因为,所以,即,即证:;综上, .例8(2022山东济宁市育才中学高三开学考试)已知数列an的前n项和为Sn,且,a11(1)求数列an的通项公式;(2)设,数列bn的前n项和为Tn,证明【解析】(1)因为,所以.两式相减,得,即所以当时,在中,令,得,所以,又满足,所以所以,故数列an是首项为1,公差为2的等差数列,且.(2),所以,当时,当时,所以.例9(2022天津一中高三阶段练习)已知数列满足记.(1)证明:数列为等比数列,并
10、求出数列的通项公式;(2)求数列的前项和.(3)设,记数列的前项和为,求证:.【解析】(1)证明:因为,所以,又,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以.(2)(3)例10(2022全国成都七中高三开学考试(理)记数列前项和为,.(1)证明:为等差数列;(2)若,记为数列的前项积,证明:.【解析】(1)由题意,得.则.两式相减,得,即,是等差数列.(2)因为,由(1)知(也符合此式)故数列的通项公式为则所以故,得证.例11(2022河南模拟预测(理)若数列满足,(1)求的通项公式;(2)证明:【解析】(1)因为,所以,故;(2)证明:当n1时,;当时,则,故;综上,.核心考点三:等比放缩
11、例12(2022重庆八中高三阶段练习)记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列.(1)求的通项公式;(2)证明:.【解析】(1),即;当且时,即,又,数列是以为首项,为公比的等比数列,则.(2)由(1)得:,.例13(2022广东高三阶段练习)已知数列的首项为1,为数列的前n项和,其中(1)若成等差数列,求的通项公式;(2)设数列满足,且,数列的前n项和为,证明:【解析】(1)由得,两式相减得,由可得,故对所有都成立,所以数列是首项为1,公比为q的等比数列,从而,由成等差数列可得,化简得,又,解得(舍去),所以(2)由题意可知,由可得,解得(舍去),又,则,即,则,即例14(2022天津南开
12、中学高三阶段练习)记是公差不为0的等差数列的前项和,已知,数列满足,且.(1)求的通项公式,并证明数列是等比数列;(2)若数列满足,求的前项和的最大值、最小值.(3)求证:对于任意正整数,.【解析】(1)设等差数列的公差为,由,可得,解得或(舍去),又,则,由,可得,数列是以为首项,为公比的等比数列;(2)由(1)可得,设的前项和为,则,当为奇数时,随着的增大而减小,可得,当为偶数时,随着的增大而增大,可得,的最大值为,最小值为(3)证明:因为数列是以为首项,为公比的等比数列,所以,所以,所以例15(2022浙江大学附属中学高三期中)记为数列的前项和,已知,是公差为2的等差数列.(1)求证为等
13、比数列,并求的通项公式;(2)证明:.【解析】(1)因为是公差为2的等差数列,所以,当时,两式相减得,即,故,又,所以是首项为,公比为的等比数列,故,则.(2)因为,所以,则,即,所以.例16(2022浙江模拟预测)已知正项数列满足,当时,的前项和为.(1)求数列的通项公式及;(2)数列是等比数列,为数列的公比,且,记,证明:【解析】(1)当时,累加可得且当时,符合,.由等差数列前项和的公式可得:(2)由(1)得,对于左边,又,对于右边,,.综上:成立.例17(2022江苏泗洪县洪翔中学高三开学考试)已知数列的前项和为,(1)证明:数列为等比数列;(2)记数列的前项和为,证明:【解析】(1)因
14、为,所以,所以,因为,所以,故数列为等比数列,首项为,公比为2;(2)由(1)可知,所以,所以核心考点四:型不等式的证明例18(2022山东省实验中学模拟预测)已知函数(1)求函数的最大值;(2)若关于x的方程有实数根,求实数k的取值范围;(3)证明:【解析】(1),当时,当时,在上单调递增,在上单调递减所以,即当时,取最大值1(2)依题意,令,当时,当时,在上单调递增,在上单调递减,即,因此的值域是,方程有解,有,所以实数k的取值范围是.(3)由(1)知,当且仅当时取等号,因此当时,即当时,所以例19(2022全国高三专题练习)设各项均为正数的数列的前项和为,满足.(1)求的值:(2)求数列
15、的通项公式:(3)证明:对一切正整数,有.【解析】(1)令,则舍去,所以.(2),因为数列各项均为正数,舍去,当时,(3)令,所以例20(2022上海模拟预测)在数列中,其中(1)设,证明数列是等比数列;(2)记数列的前n项和为,试比较与的大小【解析】(1),由得:,而,则,整理得,而,所以数列是首项为3,公比为3的等比数列.(2)由(1)知,于是得,因此,令,显然数列是递增数列,而,即时,当时,所以,当时,当时,.例21(2022全国高三专题练习)已知函数(1)当时,讨论的单调性;(2)当时,求a的取值范围;(3)设,证明:【解析】(1)当时,则,当时,当时,故的减区间为,增区间为.(2)设
16、,则,又,设,则,若,则,因为为连续不间断函数,故存在,使得,总有,故在为增函数,故,故在为增函数,故,与题设矛盾.若,则,下证:对任意,总有成立,证明:设,故,故在上为减函数,故即成立.由上述不等式有,故总成立,即在上为减函数,所以.当时,有,所以在上为减函数,所以.综上,.(3)取,则,总有成立,令,则,故即对任意的恒成立.所以对任意的,有,整理得到:,故,故不等式成立.例22(2022湖南周南中学高三阶段练习)已知函数(1)求函数的最大值;(2)证明:【解析】(1)因为定义域为,所以,当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,即当时,取最大值1(2)证明:由(1)知,当且仅当时取
17、等号,因此当时,即当时,所以,所以例23(2022全国高三专题练习)已知单调递减的正项数列,时满足 为前n项和(1)求的通项公式;(2)证明:.【解析】(1)由,得,即,由是单调递减的正项数列,得,则,即,故是以为首项,1为公差的等差数列,则,即.(2)要证:,只需证:,即证:,即证:,即证:,即证:,即证:,而此不等式显然成立,所以成立.例24(2022广东铁一中学高三阶段练习)记为数列的前项和,已知是首项为3,公差为1的等差数列.(1)求的通项公式;(2)证明:当时,.【解析】(1)是首项为3,公差为1的等差数列,.当时,.又不满足,的通项公式.(2)当时,.例25(2022全国高三专题练
18、习)已知数列和满足,且对任意都有,(1)求数列和的通项公式;(2)证明:【解析】(1)对任意都有,即数列是首项为,公差为1的等差数列,且,(2),所证不等式,即先证右边不等式:令,则当时,所以函数在上单调递减当时,即分别取得即也即即再证左边不等式:令,则当时,所以函数在上单调递增当时,即分别取得即也即即例26(2022福建莆田第五中学高三期中)数列满足,.(1)求数列前项和;(2)证明:对任意的且时,【解析】(1)当时,当时,两式相减得:所以,又符合此式,综上所述,所以数列为等比数列,首项为1,公比为,所以(2)由(1)可知,所以故只需证明下面先证明对任意的且都有记,则在上恒成立,所以在上是增
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