微专题6 基本初等函数、函数与方程.docx
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1、微专题6基本初等函数、函数与方程高考定位1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点,利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型; 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点,常以压轴题的形式出现.【真题体验】1.(2023天津卷)若a1.010.5,b1.010.6,c0.60.5,则a,b,c的大小关系为()A.cab B.cbaC.abc D.bac答案D解析法一因为函数f(x)1.01x是增函数,且0.60.50,所以1.010.61.010.51,即ba1;因为函数g(x)0.6x是减函数,且0.50,所以0.60.50.601,即cac.故选D.法二因为函数f(x)1.01x是增函数
2、,且0.60.5,所以1.010.61.010.5,即ba;因为函数h(x)x0.5在(0,)上单调递增,且1.010.60,所以1.010.50.60.5,即ac.综上,bac.故选D.2.(2023全国甲卷)已知函数f(x)e(x1)2.记af,bf,cf,则()A.bca B.bacC.cba D.cab答案A解析函数f(x)e(x1)2是由函数yeu和u(x1)2复合而成的函数,yeu为R上的增函数,u(x1)2在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x1对称,所以cff,又2
3、1,所以ffca,故选A.3.(多选)(2023新高考卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp20lg,其中常数p0(p00)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m 声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则()A.p1p2 B.p210p3C.p3100p0 D.p1100p2答案ACD解析因为Lp20lg随着p的增大而增大,且Lp160,90,Lp250,60,所以Lp1Lp2,所以p1p2,故A正确;假
4、设p210p3,则p01010p010,所以1010,所以Lp2Lp320,不可能成立,故B不正确;由Lp20lg,得pp010.因为Lp340,所以p3p010100p0,故C正确;因为1021,所以p1100p2,故D正确.综上,选ACD.4.(2021北京卷)已知f(x)|lg x|kx2,给出下列四个结论:若k0,则f(x)有两个零点;k0,使得f(x)有一个零点;k0,使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是_.答案解析令f(x)|lg x|kx20,可转化成两个函数y1|lg x|,y2kx2的图象的交点个数问题.对于,当k0时,y22与y1|lg x|的图象有两个交点,正确;
5、对于,存在k0,使y2kx2与y1|lg x|的图象相切,正确;对于,若k0时,过点(0,2)存在函数y1|lg x|(x1)图象的切线,此时共有两个交点,当直线斜率稍微小于相切时的斜率时,就会有3个交点,故正确.5.(2023天津卷)若函数f(x)ax22x|x2ax1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为_.答案(,0)(0,1)(1,)解析(1)当a0时,f(x)2x|x21|2xx21(x1)20,不符合题意;(2)当a0时,若a240,即a2,0)(0,2时,f(x)ax22xx2ax1(a1)x2(a2)x1,()当a1时,f(x)x1,不符合题意;()当a1时,若f(x)有且仅有两
6、个零点,则(a2)24(a1)a20,得a2,0)(0,1)(1,2,符合题意;当a240,即a2或a2时,函数yax22x的图象开口向上,对称轴为直线x,且;函数yx2ax1的图象开口向上,对称轴为直线x,且1,当x时,y10.作出函数yax22x与y|x2ax1|的大致图象,如图(1),函数图象恰有两个交点,符合题意;()当a2时,函数yax22x的图象开口向下,对称轴为直线x,且;函数yx2ax1的图象开口向上,对称轴为直线x,且1,当x时,y10且a1,b0且b1),则函数f(x)ax与g(x)logx的图象可能是()(2)(2023天津模拟)已知ealg 2,blg(ln 2),cl
7、n ,则a,b,c的大小关系是()A.cba B.bacC.acb D.bca答案(1)B(2)C解析(1)lg alg b0,ab1,a,g(x)logxlogax,f(x)ax与g(x)logx互为反函数,f(x)ax与g(x)logx的图象关于直线yx对称,且具有相同的单调性.故选B.(2)由ealg 2,得aln (lg 2),因为lg 2lg ,所以ln (lg 2)ln ,即ac,因为lnln 21,所以1cln ln 2lg lg ,所以lg (ln 2)ln ,即bc,所以acb.规律方法1.指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响,解决指数函数、对数函数问题时,首先要看
8、底数a的取值范围.2.基本初等函数的图象和性质是统一的,在解题中可相互转化.训练1 (1)(多选)(2023邯郸模拟)已知函数f(x)log2(x6)log2(4x),则()A.f(x)的定义域是(6,4)B.f(x)有最大值C.不等式f(x)4的解集是(,4)(2,)D.f(x)在0,4上单调递增(2)(2023日照模拟)对任意正实数a,记f(x)|lg x|在a,)上的最小值为ma,g(x)sin在0,a上的最大值为Ma,若Mama,则a的所有可能值为_.答案(1)AB(2)或解析(1)由题意可得解得6x4,即f(x)的定义域是(6,4),则A正确;f(x)log2(x22x24),因为y
9、x22x24在(6,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减,又ylog2x在(0,)上单调递增,所以f(x)在(6,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减,所以f(x)maxf(1)2log25,则B正确;因为f(x)在(6,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减,且f(4)f(2)4,所以不等式f(x)4的解集是(6,4)(2,4),则C错误;因为f(x)在(1,4)上单调递减,所以D错误.(2)f(x) 和g(x) 的图象如图所示:当0a0时的情况).g(x)有且仅有三个零点,则f(x)和h(x)的图象有且仅有三个交点.当a0时,显然不成立;当a0时,由图可得解得a;当a0时,由对称性知a
10、.综上,a的取值范围是,故选A.考向3零点的代数式问题例4 (2023武汉模拟)设函数f(x)关于x的方程f(x)t有四个实根x1,x2,x3,x4(x1x2x3x4),则x1x2x3x4的最小值为_.答案10解析作出f(x)的大致图象如图所示.由图可知x1x24,由|log2(x4)|f(2)4,得x或20,则5x420.又因为log2(x34)log2(x44)0,所以(x34)(x44)1,所以x34,则x3x4(x44)5,又x44(1,16),所以x3x4256,当且仅当(x44),即x46时等号成立.故x1x2x3x4的最小值为10.规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)
11、的三种方法训练2 (1)(2023北京西城区模拟)设cR,函数f(x) 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是()A.(0,1) B.01,)C. D.0答案D解析画出函数g(x)的图象如图所示,函数f(x)可由g(x)分段平移得到,易知当c0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意;当c0时,图象往下平移,若当02c1时,函数有两个零点;若当2c1,即当c时,f(x)恰有一个零点,满足题意.综上,可得c的取值范围是0.(2)(2023深圳模拟)定义开区间(a,b)的长度为ba.经过估算,函数f(x)x的零点属于开区间_(只要求写出一个符合条件,且长度不超过的开区间).答案(答案不唯一)解析因
12、为y,yx都是减函数,所以f(x)x是减函数,又f(1)10,f0,即ffcb B.bacC.bca D.abc答案D解析因为a20.1201,0blog0.20.3log0.20.21,clog20.3bc.2.函数f(x)的零点有()A.2个 B.3个 C.5个 D.无数个答案B解析f(x)的定义域为(5,5),令f(x)0,得sin x0,xk,kZ,又x(5,5),x0或x,故f(x)有3个零点.3.(2023济南模拟)自然数22 023的位数为(参考数据:lg 20.301 0)()A.607 B.608 C.609 D.610答案C解析因为lg 22 0232 023 lg 22
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