高考数学解题技巧教师版.docx
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1、更多逆袭资料,关注公众号:高中领域目录249第一讲 函数相关技巧一、技巧知识点二、技巧训练技巧1 分式函数求值域技巧2 口算奇偶性求参数技巧3 形如f(x)=奇函数+常数第二讲 平面向量一、技巧知识点二、技巧训练技巧1 奔驰定理技巧2 三角形的四心技巧3 极化恒等式第三讲 解三角形一、技巧知识点二、技巧训练技巧一 三角形的射影定理技巧2 三角形的中线定理技巧3 角平分线的定理第四讲 数 列一、技巧知识点二、技巧训练技巧1 等比数列前n项和规律技巧2 单一条件口算结果技巧3 公式法口算通项技巧4 错位相减法口算结果技巧5 斐波那数列第五讲 焦点三角形一、技巧知识点二、技巧训练技巧1 焦点三角形的
2、周长技巧2 焦点三角形的面积技巧3 焦点三角形的离心率第六讲 离心率一、技巧知识点二、技巧训练技巧1 焦点三角形中的离心率技巧2 点差法中的离心率技巧3 渐近线与离心率技巧4 焦点弦与离心率第七讲 点差法一、技巧知识点二、技巧训练技巧1 点差法在椭圆在的应用技巧2 点差法在双曲线在的应用技巧3 点差法在抛物线在的应用更多逆袭资料,关注公众号:高中领域第八讲 外接球与内切球一、技巧知识点二、技巧训练技巧1 外接球之墙角模型技巧2 外接球之汉堡模型技巧3 外接球之斗笠模型技巧4 外接球之折叠模型技巧5 外接球之切瓜模型技巧6 外接球之麻花模型技巧7 外接球之矩形模型技巧8 内切球半径第九讲 法向量
3、秒求一、技巧知识点二、技巧训练第十讲 导 数 一、技巧知识点二、技巧训练技巧1 常见的函数构造技巧2 秒杀解导函数不等式第十讲 不等式一、技巧知识点二、技巧训练技巧1 配凑法技巧2 分类常数法技巧3 对勾函数第十一讲 小专题技巧大集合一、技巧知识点二、技巧训练技巧1 集合点元素技巧2 特征与全称量词技巧3 穿根引线解不等式技巧4 复数的几何意义几何化第一讲 函数相关技巧一、技巧知识点一 分式函数求值域-分子分母为同类型函数(一)注意事项1. 求值域前先求定义域,如果给出区间则不用求定义域2. 几个极限值(二)模式二.奇偶性1. 常见函数的奇偶性(前提定义域关于原点对称)2. 有对称轴函数解不等
4、式或比较大小-比较的是两个自变量与对称轴距离的远近当函数的对称轴为x=a,则f(x1)f(x2)(1) 当函数的先增后减时,(2) 当函数的先减后增时,3. 奇偶性的运算同性相加减的同性,异性相加减为非奇非偶同性乘除为偶函数,异性乘除为奇函数三. 函数模型为f(x)=g(x)+k,其中g(x)为奇函数,所给区间要关于原点对称1. f(x)+f(-x)=2k推导:f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2k2. f(x)max+f(x)min=2k推导 :f(x)max+f(x)min=g(x)max+k+g(x)min+k=2k(奇函数的最大值与最小值成
5、相反数)3. 如何找k-f(0)=k推导:f(0)=g(0)+k=k二、技巧训练技巧1 分式函数求值域【例1】(1)(2020山西省太原市实验中学)已知函数的取值范围 (2)(2020湖南省长沙市第一中学)函数的值域为 。【解析】,则其值域【,】(2)【常规法】分离常数由已知:,.【技巧法】t=x2,t0,则函数y=f(x)=t1t+1,f(0)=-1,f()=1(取不到,开区间),变式1(2019上海市普陀区曹杨第二中学函数),的值域是_【技巧法】f(0)=32,f(2)=74故答案为:【常规法】,因为,故,故 变式2(2020广东省东莞市北师大东莞石竹附属学校)函数的值域是 【技巧法】t=
6、x2,t0,则y=f(x)=t+2t+2,f(0)=1,f()=-1(取不到,开区间),即,【常规法】,则,即函数的值域是,变式3.(2020陕西省西安市高新一中)函数的值域为_【技巧法】的定义域为,则yf(1)=4【常规法】由题.因为的值域为,故的值域为,故的值域为,技巧2 口算奇偶性求参数【例2】(1)若函数是偶函数,则实数( )AB0C1D(2)已知是奇函数,且实数满足,则的取值范围是( )ABCD【解析】(1)【技巧法】因为函数为偶函数,正弦为奇函数,所以对数为奇函数,根据常见函数可知【常规法】因为是偶函数,是奇函数,所以是奇函数,所以,所以,所以,所以,所以,选C.(2)因为是定义域
7、为的奇函数,所以,可得,此时,易知在上为减函数.又因为,所以,所以.选D.变式1(2020沙坪坝重庆南开中学高三月考(理)已知函数,则不等式的解集为( )ABCD【技巧法】根据常见奇偶性函数可知f(x)为偶函数,根据对勾函数已知二次函数可知x0函数为单调递增,则x0函数为单调递减,即,解得,选D.【常规法】设,由,当时,当时,则在上单调递减,在上单调递增,由二次函数的性质可知,在上单调递减,在上单调递增,所以在上单调递减,在上单调递增,又,所以为偶函数.由可知,即,解得,选D.变式2(2020河北桃城衡水中学高三其他(文)若函数,则不等式的解集为( )ABCD【技巧法】根据常见函数可知f(x)
8、为奇函数求为单调递增则可化为所以原不等式等价于不等式.当时,可化为,所以;当时,可化为,所以.综上,原不等式的解集为.【常规法】因为函数的定义域为,且满足,所以为上的奇函数,则可化为, 因为恒成立,所以为上的增函数.所以原不等式等价于不等式.当时,可化为,所以;当时,可化为,所以.综上,原不等式的解集为.选A.变式3(2020河南罗山高三月考(理)已知函数f(x)的图象关于y轴对称,且f(x)在(,0上单调递减,则满足的实数x的取值范围是( )A B C D【解析】由题意是偶函数,且在上单调递增,不等式可变为,解得选B技巧3 形如f(x)=奇函数+常数【例3】(1)(2020河南平顶山高三月考
9、(文)已知函数,若,则( )A BC1D2(2)(2019秋市中区校级月考)已知,若的最大值为,的最小值为,则等于A0B2CD(3)(2020五华云南师大附中高三月考(文)已知函数,则( )A2019B2020C4038D4040【解析】(1)因为是奇函数,.选C(2)函数为奇函数,即,即选(3)所以.选C变式1(2019秋椒江区校级期中)已知函数的最大值为,最小值为,则的值等于A2B4CD【解析】设,则是奇函数的最大值和最小值互为相反数,且的最大值为,最小值为,选变式2(2021宁夏银川二十四中高三月考)若,且,则( )ABCD【解析】设,则,所以,则,所以.选B.变式3已知函数f(x)=I
10、n(x+)+1,若实数a满足f(-a)=2,则f(a)等于()A1B0CD【解析】函数f(x)=In(x+)+1,实数a满足f(-a)=2,=-1+1=0选B变式4已知函数,则( )A2019B2020C4038D4040【解析】,令,则,所以为奇函数,所以关于坐标原点对称,则关于成中心对称,则,选C变式5已知函数,则( )A2B0CD【解析】设则所以,即为奇函数,所以所以选D巩固1(2019江苏省盐城市)函数的值域为_【技巧法】t=x2,t0则f(t)=3t+2018t+1,f(0)=2018,f()=3故答案为巩固2函数的值域是_【技巧法】【常规法】由题知因为,所以,所以,则,因此巩固3(
11、2020黑龙江省哈尔滨师范大学附中)函数的值域为_.【技巧法】令,则故【常规法】令,则,故由于,即函数的值域为 巩固4(2020江西省信丰中学高三月考(文)已知函数,且,则函数的值是 ABCD【技巧法】,令,得,解得,【常规法】,令,其中,所以函数为奇函数,即,可得,令,得,解得巩固5(2020山西大同高三月考(文)设函数的最大值为5,则的最小值为 【技巧法】f(x)max+f(X)min=6,则f(x)的最小值为1【常规法】由题可知,设,其定义域为,又,即,由于,即,所以是奇函数,而,由题可知,函数的最大值为5,则函数的最大值为:5-3=2,由于是奇函数,得的最小值为-2,所以的最小值为:-
12、2+3=1.巩固6(2020广东霞山湛江二十一中高三月考)已知函数的最大值为M,最小值为m,则 【技巧法】f(x)max+f(X)min=4【常规法】设,因为,所以为奇函数,则的最大值为,最小值为,由奇函数对称性知,两者相加为0,即,.巩固7(2019杏花岭山西实验中学高三月考)已知函数,其中为函数的导数,则 【解析】令,则有因为的定义域是R,所以是奇函数,所以是偶函数所以,所以选A巩固8(2019山东任城济宁一中高三月考)设函数,若, .【解析】因为,所以因此函数为奇函数,又,所以巩固9(2019湖南娄底高三期末(文)已知函数,其导函数为,则的值为 .【解析】函数,.巩固10(2019秋渝中
13、区校级月考)已知,则在区间,上的最大值最小值之和为 .【技巧法】f(0)=1,则最大值和最小值的和为2【常规法】由令,可得是奇函数,可得区间,上的最大值最小值之和为0那么在区间,上的最大值为,最小值为;在区间,上的最大值最小值之和为2巩固11(2020秋广东月考)已知函数在,上的最大值为,最小值为,则 )【技巧法】所给区间不管原点对称需要换元,令t=x-1,则t2,2f(t)=(t2-1)sint+t+1t,f(0)=1,则f(x)的最大和最小值为2k=2【常规法】由令,上,可得,;那么转化为由于是奇函数可得,的最大值与最小值之和为0,那么的最大值与最小值之和为2巩固12(2019秋宁波期中)
14、已知函数的最大值为,最小值为,则 【解析】,令,则,即为奇函数,图象关于原点对称,且,则巩固13(2020陕西西安高三月考(理)已知:,:函数为奇函数,则是成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【技巧法】根据常见函数可知【常规法】当时,即有,故有即为奇函数:当为奇函数时,有,即,有:综上,知:,选C巩固14设函数,则使得成立的的取值范围是 【解析】,所以,为上的偶函数又,当时,故在上为增函数因,由 得到故,或巩固15已知函数是奇函数,则的值等于 【技巧法】可知当时,函数的解析式为:,当时,函数的解析式为:,综上可得:的值等于或3【常规法】函数为奇函数,则:
15、,即:恒成立整理可得:,即恒成立,当时,函数的解析式为:,当时,函数的解析式为:,综上可得:的值等于或3巩固16若函数为奇函数,则= 【解析】由函数f(x)为奇函可得,f(x)=f(x)=5x(4x3)(x+a)=5x(4x+3)(xa)(4a3)x2=04a3=0即a=巩固17.若函数是奇函数,则 【解析】技巧法:由常见函数可知a=0【常规法】由得,巩固18.已知函数为偶函数,则 【技巧法】由常见函数可知所以【常规法】由题意,函数为偶函数,又由函数为奇函数所以函数为奇函数,则,得所以,得,所以第二讲 平面向量一、技巧知识点一:奔驰定理1:奔驰定理内容-三角形的面积比等于其所对应的系数比已知是
16、内的一点,的面积分别为,求证:2.推导过程证明方法一:如图延长与边相交于点则 推论是内的一点,且,则二.极化恒等式2.推导过程:三 三角形的四心1.推论(1) 重心:中线的交点,是的重心中线长度分成2:1=(2) 内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等 是的内心(3) 外心:是的外心(4) 垂心:高线的交点,高线与对应边垂直是的垂心:证明:如图为三角形的垂心,同理得,由,得,即,所以同理可证,二、技巧训练技巧1 奔驰定理【例1】是内一点,满足,则( )ABCD【技巧法】公共点P,三角形ABC,则【常规法】是内一点,且满足,延长到,使得,延长到,使得连结、,则
17、是的重心,设,则,选技巧法注意事项1. 条件一般是3个同起点的向量相加减且等于零向量,若系数有正有负则公共点在三角形外,系数都为正则公共点在三角形内2. 三角形所对应的向量的找法(1) 图像法:三角形顶上的向量(2) 顶点法:公共点即起点,剩余3点构成三角形的三个顶点,对应的向量两个点其中一个点为公共点,另外一点则是三角形的顶点。变式1.已知所在平面内一点,满足,则与的面积的比值为( )ABCD【技巧法】,所以,即公共点为P,三角形ABC,则所对应的向量,其系数为2,为整个三角形,其所对应的系数为三个向量的系数,6,所以面积比为【常规法】如图所示,所以,即,所以,设和的中点分别为,则由可得,即
18、,即点是的中位线上靠近点的三等分点,所以,选:C变式2.(广东省深圳外国语学校2020)点是所在平面上一点,若,则与的面积之比是( )A3B2CD【技巧法】公共点为A,三角形为PCB,则与对应的向量为,则与的面积之比为【常规法】点是所在平面上一点,过作,如下图所示:由,故,所以与的面积之比为,选D变式3.已知点O是内一点,满足,则实数m为( )A2B-2C4D-4【技巧法】, 【常规法】由得:设,则,三点共线如下图所示:与反向共线 本题正确选项:技巧2 三角形的四心【例1】点O是ABC所在平面内的一点,满足,则点O是的_心【解析】 ,即同理可得:,点为的垂心本题正确结果:垂【例2】在中,设,则
19、动点M的轨迹必通过的( )A垂心B内心C重心D外心【解析】设为中点,则,为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项:变式1.(河北省保定市)过内一点任作一条直线,再分别过顶点作的垂线,垂足分别为,若恒成立,则点是的( )A垂心B重心C外心D内心【解析】本题采用特殊位置法较为简单.因为过内一点任作一条直线,可将此直线特殊为过点A,则,有.如图:则有直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点是的重心,选B.变式2(辽宁朝阳柳城高中)设点P是ABC所在平面内一点,则点P是ABCA内心B外心C重心D垂心【解析】由于点P是ABC所在平面内一点,同理可知,则说明点
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