《第3章 第2节 第3课时 利用导数证明不等式——构造法证明不等式-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第3章 第2节 第3课时 利用导数证明不等式——构造法证明不等式-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考).doc(9页珍藏版)》请在文库网上搜索。
1、第3课时利用导数证明不等式构造法证明不等式考点1移项作差构造函数证明不等式综合性设函数f (x)ln xx1.(1)讨论f (x)的单调性;(2)证明:当x(1,)时,1x;(3)设c1,证明:当x(0,1)时,1(c1)xcx.(1)解:函数f (x)ln xx1的定义域为(0,),f (x)1.令f (x)0,解得x1.当0x1时,f (x)0,f (x)单调递增;当x1时,f (x)0,f (x)单调递减(2)证明:由(1)知f (x)在x1处取得最大值,最大值为f (1)0.所以当x1时,ln xx1.故当x(1,)时,0ln xx1,所以1.用代换x得ln 10,所以x.即1x.(3
2、)证明:设g(x)1(c1)xcx,则g(x)c1cxln c.令g(x0)0,解得x0.当xx0时,g(x)0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减由(2)知1c,故0x01.又g(0)g(1)0,故当0x1时,g(x)0.所以当x(0,1)时,1(c1)xcx.将本例函数改为“f (x)cx(cR) ”若1c2,求证:f (x)0,f (x)1等价于 cx0.设h(x) cx2x1ln x,只需证h(x)0成立h(x)2cx1,1c2.易知2cx2x10有两个异号的根令其正根为x0,则2cxx010.在(0,x0)上h(x)0,则h(x)的最小值为h(x0)cxx01
3、ln x0x01ln x0ln x0.又h(1)2c20,hc30,所以x00,ln x00.因此ln x00,即h(x0)0.所以h(x)0.所以1c2时,f (x)0,则h(x)在(a,b)上单调递增同时h(a)0,即f (x)g(x)或若h(x)0,即f (x)g(x)已知函数f (x)x2(a2)xaln x(aR)(1)求函数yf (x)的单调区间;(2)当a1时,证明:对任意的x0,f (x)exx2x2.(1)解:函数f (x)的定义域是(0,),f (x)2x(a2).当a0时,f (x)0对任意x(0,)恒成立,所以,函数f (x)在区间(0,)上单调递增当a0时,由f (x
4、)0得x;由f (x)0,得0x.所以函数f (x)在区间上单调递增,在区间上单调递减(2)证明:当a1时,f (x)x2xln x.要证明f (x)exx2x2,只需证明exln x20.设g(x)exln x2,则问题转化为证明对任意的x0,g(x)0.令g(x)ex0,得ex,易知方程有唯一解,不妨设为x0,则x0满足e.当x变化时,g(x)和g(x)变化情况如下表:x(0,x0)x0(x0,)g(x)0g(x)极小值g(x)ming(x0)eln x02x02.因为x00,且x01,所以g(x)min220,因此不等式得证考点2放缩构造法综合性函数f (x)(xb)(exa)(b0)的
5、图象在(1,f (1)处的切线方程是(e1)xeye10.(1)求a,b的值;(2)若m0,证明:f (x)mx2x. (1)解:由(e1)xeye10得切线的斜率为且f (1)0,所以f (1)(1b)0,解得a或b1.又f (x)(xb1)exa,所以f (1)a.若a,则b2e0矛盾;若b1,则a1.故a1,b1.(2)证明:由(1)可知,f (x)(x1)(ex1)由m0,可得xmx2x.令g(x)(x1)(ex1)x,则g(x)(x2)ex2.当x2时,g(x)2时,设h(x)g(x)(x2)ex2,则h(x)(x3)ex0,故函数g(x)在(2,)上单调递增又g(0)0,所以当x(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第3章 第2节第3课时利用导数证明不等式构造法证明不等式-2022届高三数学一轮复习讲义新高考 课时 利用 导数 证明 不等式 构造 2022 届高三 数学 一轮 复习 讲义 新高
链接地址:https://www.wenkunet.com/p-8600316.html