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1、第四节直线、平面垂直的判定与性质一、教材概念结论性质重现1直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直,记作l.直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab(1)线面垂直的判定定理的推论:如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线和平面垂直的常用性质:若直线垂直于平面,则该直线垂直于平面
2、内的任意直线垂直于同一条直线的两个平面平行2平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直l面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可3线面角与二面角(1)直线与平面所成的角(线面角)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的
3、角若一条直线垂直于平面,它们所成的角是90.若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0.直线与平面所成的角的取值范围是090.(2)二面角二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(1)线面角的取值范围是0,90,二面角的取值范围是0,180(2)当线面角为90时,线面垂直;当二面角为90时,面面垂直4常用结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面
4、(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误,对的打“”,错的打“”(1)若直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l()(2)若直线a平面,直线b,则直线a与b垂直()(3)若直线a,b,则ab()(4)若,a,则a()(5)a,a()2下列命题中不正确的是()A如果平面平面,且直线l平面,则直线l平面B如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面,平
5、面平面,l,那么lA解析:A错误,l与可能平行或相交,或在平面内,其余选项均正确3如图,已知PA平面ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为_4解析:因为PA平面ABC,所以PAAB,PAAC,PABC,则PAB,PAC为直角三角形由BCAC,且ACPAA,所以BC平面PAC,从而BCPC因此ABC,PBC也是直角三角形故图中共有4个直角三角形4在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC,则点O是ABC的_心;(2)若PAPB,PBPC,PCPA,则点O是ABC的_心(1)外(2)垂解析:(1)如图,因为PO平面ABC,连接OA,OB,OC在RtPOA中,OA
6、2PA2PO2,同理OB2PB2PO2,OC2PC2PO2.又PAPBPC,故OAOBOC,所以O是ABC的外心(2)由PAPB,PAPC可知PA平面PBC,所以PABC又POBC,所以BC平面PAO,所以AOBC,同理BOAC,COAB.故O是ABC的垂心5已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有_对7解析:如图,由于PD平面ABCD,故平面PAD平面ABCD,平面PDB平面ABCD,平面PDC平面ABCD,平面PDA平面PDC,平面PAC平面PDB,平面PAB平面PAD,平面PBC平面PDC,共7对考点1垂直关系的基本问题基础性1已知
7、平面和直线a,b,若a,则“ba”是“b”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B解析:根据空间中直线与平面之间的位置关系,由a,b,可得ba.反之不成立,可能b与相交或平行所以“ba”是“b”的必要不充分条件2(多选题)已知a,b表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,下列说法正确的是()A若a,b,则abB若a,b,ab,则C若a,ab,则bD若a,ab,则b或bABD解析:对于A,若a,则a,又b,所以ab,故A正确;对于B,若a,ab,则b或b,所以存在直线m,使得mb,又b,所以m,所以.故B正确;对于C,若a,ab,则b或b,又,所以b或b,故C
8、错误;对于D,若a,ab,则b或b,故D正确3在三棱锥S-ABC中,SBASCA90,ABC是斜边ABa的等腰直角三角形,则以下结论:异面直线SB与AC所成的角为90;直线SB平面ABC;平面SBC平面SAC;点C到平面SAB的距离是a.其中正确的是_(填序号)解析:由题意知AC平面SBC,故ACSB,故正确;再根据SBAC,SBAB,可得SB平面ABC,平面SBC平面SAC,故正确;取AB的中点E,连接CE,可证得CE平面SAB,故CE的长度即为点C到平面SAB的距离,为a,故正确与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无须作图通过空间想象来
9、判断(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明考点2空间角及其应用综合性(1)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中若ABAD2,CC1,则二面角C1-BD-C的大小为_30解析:如图,连接AC交BD于点O,连接C1O.因为C1DC1B,O为BD的中点,所以C1OBD因为ACBD,所以C1OC是二面角C1-BD-C的平面角在RtC1CO中,C1C,COAC,则C1O2,所以sinC1OC.由图可知,二面角C1BDC为锐二面角,所以C1OC30.(2)(2020全国卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧
10、面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于点E,交AC于点F.证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;设O为A1B1C1的中心,若AO平面EB1C1F,且AOAB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值解:因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MNBB1.又AA1BB1,所以MNAA1.在ABC中,M为BC中点,则BCAM.又因为侧面BB1C1C为矩形,所以BCBB1.因为MNBB1,MNBCMNAMM,MN,AM平面A1AMN,所以BC平面A1AMN.又因为B1C1BC,且B1C1平面ABC,BC平面ABC,所以B
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