《一文搞定最值系列之“瓜豆原理”(重磅精编)---6.5.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一文搞定最值系列之“瓜豆原理”(重磅精编)---6.5.docx(16页珍藏版)》请在文库网上搜索。
1、更多见微信公众号:数学第六感;公众号:数学三剑客;QQ群:391979252;微信号:ABC-shuxue;瓜豆原理作者介绍:朱昌伟,中学教师,9年教龄。毕业于北京师范大学,双学士学位。江苏省“优秀青年教师”,现任深圳市耐思培优总校区理科教研组长,主编的初中几何模型与解题通法已出版,本文即为其中一讲:瓜豆原理。原理概述俗语云“种瓜得瓜,种豆得豆”,数学上有“种线得线,种圆得圆”:平面内,动点Q随着动点P的运动而运动,我们把点P叫做主动点,点Q叫做从动点;当这两个动点与某个定点连线的夹角一定,且与该定点距离之比一定时(简记为“定角、定比”),易判断两个动点与定点构成的三角形形状一定,大小可能变,
2、此时两个动点的轨迹形状相同,瓜豆问题的本质是旋转、相似(包含全等)变换,往往与共点旋转(手拉手)模型相结合,考查类型有:(1)确定动点轨迹;(2)求运动路程;(3)求线段最值、面积最值等.基本模型一、种直线得直线(主动点与从动点的轨迹都是直线或直线上一部分)1. 图1 图2如图1,已知l为定直线,O为直线外一定点,P为直线l上一动点,连接OP,若Q为直线OP上一点(一般在线段OP上),且Q点到O点的距离与P点到O点的距离之比为定值k(k0且k1),即,此时我们可认为Q、P两点与定点O连线的夹角一定(夹角为0),符合瓜豆原理“定角、定比”的条件,因而Q点的运动轨迹也是直线;如图2,另取一组对应的
3、点P、Q,则,因而OQQOPP,相似比为k,可知从动点Q在平行于l的直线m上运动.易判断点O到直线m和l的距离之比也等于k.2. 图1 图2如图1,已知l为定直线,O为直线外一定点,P为直线l上一动点,将射线OP绕着点O按确定的方向(如顺时针)旋转一个确定的角度(0180),得到射线OM,在射线OM上取一点Q,使(k为大于0的定值),此时符合瓜豆原理“定角、定比”的条件,因而Q点的运动轨迹也是直线;如图2,另取一组对应的点P、Q,则Q点的运动轨迹即为直线QQ,POQ=POQ=,POP=QOQ,又,OPPOQQ.特别的,当k=1时,OPPOQQ.k1时,OQQ可看做由OPP绕着O点旋转并放缩(0
4、k1时缩小,k1时放大)而来.直线QQ可看做由直线l绕着点O顺时针旋转角而来,090时,两直线的夹角即为.典型例题1-1如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B为y轴正半轴上一动点,以AB为一边向下作等边ABC,连接OC,则线段OC的最小值为_.【分析】B为主动点,C为从动点;方法一:与从动点有关的线段最值,优先转化为与主动点有关的线段最值,将线段OA绕着点A顺时针旋转60,得到线段OA,构造全等三角形可实现线段的转化;方法二:两动点与定点A连线的夹角为定值(60),到点A的距离之比为定值1(即CA:BA=1),符合瓜豆原理“定角、定比”的特征,主动点B的轨迹为射线,则从动点C的轨迹也为射线
5、,确定其轨迹后,依据“垂线段最短”求OC得最小值.【解答】方法一:如图1,将线段OA绕着点A顺时针旋转60,得到线段OA;连接OB,易证AOBAOC,则OC=OB,即求OB的最小值;由于O为定点,点B在y轴正半轴上运动,如图2,由垂线段最短,知OBy轴时,OB最小,连接OO,则AOO为等边三角形,作OHOA于H,此时OB=OH=OA=2,即OC的最小值为2. 图1 图2方法二:如图3,当点B位于原点时,对应的点C位于(2,-2)处,当点B位于(0,)时,对应的点C位于(0,-)处,则点C的运动轨迹为射线,当OC时,OC最小;易证,=60,则=60,OC=2,即OC的最小值为2.【小结】1.动点
6、引起的最值问题,经常需要确定动点轨迹; 图32.两种方法中,均有两个等边三角形构成“共点旋转(手拉手)”模型,会伴随产生一组全等三角形;3.方法二中,由于从动点的轨迹为射线,因而先确定其端点,再找一组特殊位置的主动点和从动点(目的是便于计算),即可确定从动点的轨迹;4.严格来说,y轴的正半轴不包括原点,因此C点的轨迹不包括点.典型例题1-2如图,正方形 ABCD的边长为4,动点E从A点出发,沿着AB边向终点B作无折返运动,连接DE,以DE为边向右上方作正方形DEFG,则点E在整个运动过程中,点F经过的路径长为_.【分析】E为主动点,F为从动点,依据正方形的性质,两动点与定点A的连线夹角恒为45
7、,且始终有DF:DE=,符合瓜豆原理“定角、定比”的特征,故F点的运动轨迹为线段,由临界情况确定该线段的两个端点,结合“共点旋转(手拉手)”相似模型,运用相似比计算该线段长.【解答】如图1,连接BF、BD和DF,由正方形的性质知=, 图1BDA=FDE=45,则ADE=BDF,DAEDBF,BF=AE,当E点位于A点处时,F点位于B点处,当E点位于B点处时,F点的位置如图2,则F点的运动轨迹即为图2中的线段BF,BF=AB=4,即点F经过的路径长为4. 图2【小结】1.图1中,DAB与DEF构成“共点旋转(手拉手)”模型,伴随产生一组相似三角形(DAE和DBD);2.瓜豆题型的突破口在于找到从
8、动点、主动点和某定点之间的“定角、定比”关系.变式训练1-1如图,ABC为等边三角形,AB=4,AD为高,E为直线AD上一动点,连接CE并以CE为边向下作等边CEF,连接DF;则点E在运动的过程中,线段DF的最小值为_.变式训练1-2(原创)如图,在ABC中,A=105,ABC=30,AC=,动点D从A点出发,沿着AC边向终点C作无折返运动,以BD为边向上作BDE,使BDE=A,且E=45,则点D运动的整个过程中,点E运动的路径长为_;F为直线CE上一动点,连接BF,则线段BF的最小值为_.变式训练1-3(多种方法)如图,已知AB=12,点C在线段AB上,且AC=4,以AC为一边向上作等边AC
9、D,再以CD为直角边向右作RtDCE,使DCE=90,F为斜边DE的中点,连接DF,随着CE边长的变化,BF长也在改变,则BF长的最小值为_.二、种曲线得曲线(主动点与从动点的轨迹都是双曲线或双曲线一部分)其原理与模型一类似,不再赘述,直接看例题:典型例题2-1如图,点A是双曲线在第一象限上的一动点,连接AO并延长,交双曲线的另一支于点B,以AB为斜边作等腰RtABC,点C落在第二象限内,随着点A的运动,点C的位置也在不断变化,但始终在同一函数图像上,则该函数解析式为_.【分析】A为主动点,C为从动点;方法一:根据点C坐标判断,连接CO过点C向x轴作垂线段,构建“三垂直”模型,设点A坐标,表示
10、出点C坐标,观察其坐标符合的函数解析式;方法二:根据反比例函数k的几何意义判断;方法三:动点A、C与定点O符合瓜豆原理“定角、定比”的特征,因而点C的轨迹是双曲线的一支,任意的点C均可看做对应的点A绕着点O逆时针旋转90而来,因而点C的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O逆时针旋转得到.【解答】方法一:连接OC,作CDx轴于点D,AEx轴于点E,由双曲线的对称性知OA=OB,又ABC为等腰直角三角形,COOA,CO=OA,则易证CODOAE,设A(a,),则C(-,a),易判断点C在反比例函数y=-(x0)上,故答案为:y=-(x0).方法二:辅助线同方法一,由反比例函数k的几何意义知=2
11、,易判断点C在反比例函数y=-(x0)上.方法三:点C的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O逆时针旋转得到,因而新反比例函数的k与原函数k互为相反数,故点C在反比例函数y=-(x0)上.变式训练2-1如图,RtABO中,AOB=90,点A在第一象限、点B在第四象限,且AO:BO=1:,若点A(x0,y0)的坐标x0,y0满足y0=,则点B(x,y)的坐标x,y所满足的关系式为 三、种圆得圆(主动点与从动点的轨迹都是圆或圆弧)1. 图1 图2如图1,已知点P为M上一动点,O为定点(一般在圆外),Q为直线OP上一点(一般在线段OP上),若=k(k0且k1),则主动点P、从动点Q与定点O符合“定
12、角(0)、定比”特征,因而Q点的轨迹也是圆,如何确定该圆的圆心和半径呢?如图2,连接MP、MO,作QNPM,交MO于点N,则OQNOPM,从而有=k,由于M、O为定点,k为定值,N为定点,设M半径为R,N半径为r,NQ=kMP=kR,NQ长为定值,由圆的定义知,点Q在以N为圆心,kR长为半径的圆上运动,即Q点的轨迹是以N为圆心,kR长为半径的圆.2. 图1 图2如图1,已知点P为M上一动点,O为定点(一般在圆外),将射线OP绕着点O按确定的方向(如顺时针)旋转一个确定的角度(0180),得到射线OT,在射线OT上有一点Q,满足=k(k为大于0的常数),则主动点P、从动点Q与定点O符合“定角、定
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 搞定 系列 原理 重磅 精编 6.5