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1、重庆市万州二中 孙宇 专题复习排列、组合的应用 14种策略7大模型“绝杀”排列组合排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握模型和解题方法,识别并化归到模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径。第一部分组合的常见技巧策略一:合理分类与准确分步策略分类相加:每类方法都能独立地完成这件事 ;分步相乘:只有各个步骤都完成了,才能完成这件事。【例1】有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是法语译员,另外两名是英、法语均精通,从中找出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译法语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单可以
2、开出几张? 【解析】:按只会英语的有4名、3名、2名分类【例2】见后面【例19】【特别提醒】 在解排列组合问题时,一定要以两个原理为核心。按元素的性质分类,按事情发生的过程分步。综合题通常是整体分类再局部分步。【类题演练】1、360的正约数(包括1和360)共有 个。 (答案24)2、工厂实验生产中需依次投入2种化工原料,现有5种原料可用,但甲、乙两种原料不能同时使用,且依次投料时,若使用甲原料,则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_种 (答案15);3、公司招聘进8名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门;另三名电脑编程人员也不能同给一个部门,则不同的分
3、配方案有_种 (答案36);4、是集合到集合的映射。 (答案7;9)若,则映射共有 个 ; 若为奇数,则映射共有 个。5、(2010湖南卷理科7)在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字也许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) (答案B) (A)10 (B) 11 (C)12 (D)156、(2010浙江卷17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复。若上午不测“握力”项目,下午不测“台
4、阶”项目,其余项目上下午都各测试一人,则不同的安排方式共有 种(用数字作答)。 ( 答案264) 策略二:不同元素可重复的分配求幂法不同元素重复的分配问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,从不可重复的一类进行分配,“人选一个房间,房间不是住一个人”。【例3】 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有( ) (A) (B) (C) (D)【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,因此共有种不同的结果。所以选A【类题演练】 1、有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(答案)2、有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结
5、果? (答案)3、将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法? (答案)策略三:相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.高考资源网 【例4】五人并排站成一排,如果必须相邻且在的右边,那么不同的排法种数有 【解析】:把视为一人,且固定在的右边,则本题相当于4人的全排列,种【类题演练】1、把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同的排法种数为_ (答案);2、由1,2,3,4,5组成不重复的5位数,1、3之间恰有两个偶数,则有_ 个。(答案)3、停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种?
6、(答案)策略四:相离问题(不相邻问题)插空法 元素相离问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例5】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为种,再用甲乙去插6个空位有种,不同的排法种数是种【例6】 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?【解析】:先拿出5个椅子排成一排(注意空椅子不排序),在5个椅子中间出现4个空,*(*表示椅子,表示空)再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A=24种. 【例7】马路上有编号为1,2,3,9九只路灯,现要关掉其
7、中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?【解析】:把此问题当作一个排序模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种. (注意亮的灯、不亮的灯均不排序)【特别提醒】 从这三个例子看得出来,先排的元素和后插的元素都有可能有序,也可能无序,所以做题时一定要分析清楚。 【类题演练】1、 高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 (答案3600C)2、(1)连续发射8发子弹4发命中,恰有3发连中,有 种命中方式。 ( 答案(1);)(
8、2)连续发射8发子弹4发命中,恰有两次2发连中,有 种命中方式。 ( 答案(2)策略五:元素优先法(位置优先法) 【分析法】某个或几个元素要或不要排在指定位置,可先处理这个或几个元素,再排其它的元素(元素优先法); 也可针对特殊元素,先把指定位置安排好元素,再排其它的元素(位置优先法)。【例8】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( ) A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】: 方法一: 从后两项工作
9、出发,采取位置分析法。 方法二:元素分析法。分两类:若小张或小赵入选,则有选法;若小张、小赵都入选,则有选法,共有选法36种,选A. 【特别提醒】 当元素多,但是位置少的时候,“元素分析法”一定要注意特殊元素可能被选中,也可能不被选中,这时要注意分类。因此这种情况一般选用“位置分析法”。【类题演练】 1、某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙,现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择,其中1号石材有微量的放射性,不可用于办公室内,则不同的装饰效果有 种 (答案300);2、某银行储蓄卡的密码是一个4位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位
10、上的数字(如2816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有 种 (答案100);3、用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成无重复数字的四位偶数 个 (答案156);4、某班上午要上语、数、外和体育4门课,如体育不排在第一、四节;语文不排在第一、二节,则不同排课方案种数为 (答案6);5、四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。若恰有两个空盒的放法有 种;若甲球只能放入第2或3号盒,而乙球不能放入第4号盒的不同放法有 种 (答案84;96);策略六:多排问题单排法把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。高考
11、资源网 【例9】把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为( )(A)(B) (C) (D) 【解析】本题可看成左、中、右各5人,因此本题可看成15个不同的元素排成一排,共种资源网 【例10】8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?【解析】看成一排,某2个元素在左边四个位置中选排2个,有种,某1个元素排在右边的四个位置中选一个有种,其余5个元素任排5个位置上有种,故共有种排法.【类题演练】 1、若2n个学生排成一排的排法数为x,这2n个学生排成前后两排,每排各n个学生的排法数为y,则x,y的大小关系为_ (答案:相等);策
12、略七:环排问题线排法 排成环与排成一排的不同点在于:排成环形没有首尾之分,所以固定一个元素并从此位置把圆形展成直线。【例11】 5人围桌而坐,共有多少种坐法?【解析】ABCDEA,固定A,其余元素有种排法。 策略八:定序问题缩倍法、插空法,空位法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.【例12】五人排站成一排,如果必须站在的右边(可以不相邻)那么不同的排法种数是( )【解析】 :法1(缩倍法): 在的右边与在的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即种;法2(插空法):先排好A、B,再把C、D、E逐一插空,即345=60种法3(空位法):5个位置C
13、、D、E先排好,空两个位置AB来放:【类题演练】 1、书架上有3本不同的书,使这些书的顺序不变,再放上2本不同的书,有 种放法 (答案20);2、百米决赛有6名运动员,每个运动员速度都不同,则A比F先到终点共有_种情况(答案360);3、学号为1,2,3,4的四名学生的成绩且满足,则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_种 (答案15);4、设集合,对任意,有,则映射的个数是_ (答案);5、如果一个三位正整数形如“”满足,则称这样的三位数为凸数(如120、363、374等),那么所有凸数个数为_ (答案240);6、离心率等于(其中且)的不同形状的的双曲线的个数为_ (答案26)。策略九:标号
14、排位问题(不配对问题)分步法把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.【例13】同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) (A)6种(B)9种(C)11种(D)23种 【解析】:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式; 第二步,假设甲取b,则乙无论取a、c、d丙、丁的取法都是唯一的。根据乘法原理,一共有3311=9种分配方式。 故选(B)【类题演练】 1、五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上
15、,那么不同的站队方式共有( ) (A)60种(B)44种(C)36种(D)24种 (答案B)2、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( ) (答案B) (A)10种 (B) 20种 (C)30种 (D)60种 3、设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 种 (答案31)策略十:不同元素的分配问题先分组再排组法(详见模型五) 将不同元素放到某些位置或分给某些人,往往先分成组,再将组排序。但因为各组元素的个数相等与否
16、,一般分为:平均,不平均,部分平均分配,在用组合数选取元素时,个数平均的组与组之间已经有序,个数不平均的组与组之间无序,须加序。此外还有定向分配和特殊元素参与的分配。【例14】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种【解析】:第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇,分法有所以满足条件得分配的方案有【例15】 四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?【解析】:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有种,再排:在四个盒中每次排3个有种,故共有种. 【类题演练】 (详见模型五)
17、1、 有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( ) (答案C)(A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种2、某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )种 (答案D)(A)16种 (B)36种 (C)42种 (D)60种策略十一:相同元素的分配问题隔板法对于n个相同元素分配到m个位置的问题,可看作是由(m-1)个隔板(或排序,或插空)把n个相同元素隔成m段。【例16】 10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方
18、案?【解析】:把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可在小球的9个空位中插入6块板,如:|。每种插法对应一种分配方案,故共有不同的分配方案为种.【例17】 4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?【解析】: 1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、种方法。 3、由分步计数原理可得=720种【类题演练】1、
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