第五板块 小题保分练(二) 圆锥曲线的方程与性质.DOC
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2、直线与椭圆C交于A,B两点下列椭圆的方程中,能使得ABF1为正三角形的是( )A.1 B.1C.y21 Dx21解析:选BD设椭圆C:1(ab0),F1(c,0)由题意知ABF1F2,易知|AB|.又|AB|BF1|2|BF2|,|BF1|BF2|2a,故b2,显然B、D选项正确4已知点(0,4)到双曲线1(a0,b0)的一条渐近线的距离为,则双曲线的离心率为( )A. B.C. D5解析:选C由题意可得双曲线的一条渐近线为byax0,所以(0,4)到byax0的距离为d,所以.不妨设b4m(m0),则c5m,a3m,所以e.5(2022全国甲卷)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,A1,A2
3、分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点若1,则C的方程为( )A.1 B.1C.1 D.y21解析:选B依题意得A1(a,0),A2(a,0),B(0,b),所以(a,b),(a,b),a2b2(a2b2)c21,故c1.又C的离心率e,所以a3,a29,b2a2c28,即C的方程为1,故选B.6已知抛物线y22px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线y21的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为( )A. B. C. D.解析:选A根据题意,抛物线y22px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,则点M到抛物线的准线x的距离也为5,
4、即15,解得p8,所以抛物线的方程为y216x,则m216,所以m4,即M的坐标为(1,4)又双曲线y21的左顶点A(a,0),一条渐近线为yx,而kAM.由双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则有,解得a.7(2023哈师大附中模拟)多选已知曲线C:mx2(1m)y21为焦点在y轴上的椭圆,则( )A.m0,即m1,故A正确;C的离心率为e,故B错误;C的短轴长2b2,当m1时,22b,故D错误8(2023全国甲卷)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:1的两个焦点,点P在C上,cosF1PF2,则|OP|( )A. B. C. D.解析:选B依题意a3,b,c.如图,不妨令F1(,0),F2(
5、,0)设|PF1|m,|PF2|n,在F1PF2中,cosF1PF2,由椭圆的定义可得mn2a6.由,解得mn.设|OP|x.在F1OP和F2OP中,F1OPF2OP,由余弦定理得,得x2,所以|OP|.9(2023天津高考)双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为( )A.1 B.1C.1 D.1解析:选D不妨取渐近线yx,此时直线PF2的方程为y(xc),与yx联立并解得即P.因为直线PF2与渐近线yx垂直,所以PF2的长度即为点F2(c,0)到直线yx(即bxay0)的距离,由点到直
6、线的距离公式得|PF2|b,所以b2.因为F1(c,0),P,且直线PF1的斜率为,所以,化简得,又b2,c2a2b2,所以,整理得a22a20,即(a)20,解得a.所以双曲线的方程为1,故选D.10多选已知O为抛物线C:y22px(p0)的顶点,直线l交抛物线于M,N两点,过点M,N分别向准线x作垂线,垂足分别为P,Q,则下列说法正确的是( )A若直线l过焦点F,则N,O,P三点不共线B若直线l过焦点F,则PFQFC若直线l过焦点F,则抛物线C在M,N处的两条切线的交点在某定直线上D若OMON,则直线l恒过点(2p,0) 解析:选BCD设直线l:xtym,联立方程得y22pty2pm0.设
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