《自动控制原理》课件第3章.pptx
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1、第3章 控制系统时域分析法第三章 控制系统时域分析法3.1 3.1 系系统时域性能指统时域性能指标标3.2 3.2 一一阶系统时域分析阶系统时域分析3.3 3.3 二二阶系统的时域分析阶系统的时域分析3.4 3.4 高高阶系统的时域分析阶系统的时域分析3.5 3.5 线线性系统的稳定性分析性系统的稳定性分析3.6 3.6 线线性系统的稳态误差计算性系统的稳态误差计算习题三习题三第3章 控制系统时域分析法分析和设计控制系统的首要任务是建立系统的数学模型。一旦获得合理的数学模型,就可以采用不同的分析方法来分析系统的稳定性、稳态性能和动态性能。在经典控制理论中主要采用的分析方法有:时域分析法、根轨迹
2、法和频率特性法。本章主要研究时域分析法。时域分析法是最基本的分析方法,该方法引出的概念、方法和结论是以后学习复域法、频域法等其他方法的基础。时域分析法是在时域中研究系统的运动规律,在数学上表现为微分方程的时间解,具有直观、准确的优点,可以提供系统时间响应的全部信息。第3章 控制系统时域分析法3.1 系统时域性能指标系统时域性能指标时域分析主要是对系统输出响应特性进行分析,其输出响应与系统的结构参数以及系统的输入信号形式有关。为了便于分析和评价系统的性能,必须了解典型输入信号的形式。第3章 控制系统时域分析法3.1.1 典型输入信号典型输入信号一般情况下,控制系统的外加输入信号具有随机性,因而无
3、法预先知道,而且其瞬时函数关系往往不能用解析形式来表达,例如防空雷达跟踪系统的被跟踪目标,其位置和速度就是不确定的随机信号,难以用函数描述。只有在一些特殊情况下,控制系统的输入信号才是确知的,例如温度、水位等控制系统,输入信号为定值。因此,为便于分析和设计控制系统,我们选定一些基本的输入信号形式,称之为典型输入信号,用以评价和比较控制系统的性能,并可以由此去推知更复杂输入下的系统响应。第3章 控制系统时域分析法控制系统中常用的典型输入信号有:单位阶跃(位置)函数、单位斜坡(速度)函数、单位抛物线(加速度)函数、单位脉冲函数和正弦函数,这些函数都是简单的时间函数,便于数学分析和试验研究。在研究控
4、制系统性能时,不同系统典型输入信号如何选取,需要考虑以下几个方面:输入信号的形式应尽可能反映系统在工作过程中的常见工作状态;所选输入信号在形式上应尽可能简单,以便于分析处理;应考虑选取那些能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型输入信号。第3章 控制系统时域分析法1.阶跃阶跃(位置位置)函数函数阶跃函数的定义为式中,R 为常数,是输入信号的幅值,如图 31(a)所示。当 R=1 时,该函数称为单位阶跃(位置)函数,其数学表达式为第3章 控制系统时域分析法图 31 典型输入信号第3章 控制系统时域分析法常记为 1(t)。单位阶跃函数的拉普拉斯变换为在 t=0 处,阶跃信号相当于一个不变的信号
5、突然加到系统上。对于恒值系统,相当于给定值突然变化或者扰动量突然变化;对于随动系统,相当于加入一个突变的给定位置信号,如电动机负荷的突然改变、阀门的突然开关、电源的突然开关等均可视为阶跃函数输入。通常采用单位阶跃函数作为统一的典型输入信号,从而在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。第3章 控制系统时域分析法2.斜坡斜坡(速度速度)函数函数斜坡函数的定义为式中,R 为常数,是输入信号的斜率,如图 31(b)所示。当 R=1 时,该函数称为单位斜坡(速度)函数,其数学表达式为第3章 控制系统时域分析法有时也记为 t 1(t)。单位斜坡函数的拉普拉斯变换为单位斜坡函数相当于随动系统中
6、加入一个按恒速变化的位置信号,如跟踪通信卫星的天线控制系统、数控机床加工斜面时的进给系统、大型船闸的匀速升降系统等。输入信号随时间逐渐变化的控制系统的输入均可视为斜坡函数。单位斜坡函数是考察系统对等速率信号跟踪能力时的试验信号。第3章 控制系统时域分析法3.抛物线抛物线(加速度加速度)函数函数抛物线函数的定义是式中,R 为常数,是输入信号的加速度,如图 31(c)所示。当 R=1 时,该函数称为单位抛物线(加速度)函数,其数学表达式为第3章 控制系统时域分析法单位抛物线函数的拉普拉斯变换为单位抛物线函数是用于考察系统机动跟踪能力时的试验信号。如宇宙飞船控制系统等的典型输入即可选抛物线信号。第3
7、章 控制系统时域分析法4.脉冲函数脉冲函数脉冲函数的定义是式中,R 为常数,如图 31(d)所示。当 R=1 时,该函数称为单位脉冲函数,是一个宽度为 ,高度为 1/的矩形脉冲,当 0 时,就得到理想的单位脉冲函数 (t)。其数学表达式为第3章 控制系统时域分析法其拉普拉斯变换为理想单位脉冲是不存在的,但是在控制理论中却是一个重要的数学工具。当需要使用理想单位脉冲函数作为测试信号时,实际上总是采用宽度很小的单位脉冲信号代替。一些持续时间极短的脉冲信号,可视为理想脉冲函数。如脉动电压信号、冲击力、阵风中的大气湍流等都可视为脉冲函数。单位脉冲信号用于考察系统在脉冲扰动后的恢复过程。第3章 控制系统
8、时域分析法5.正弦函数正弦函数正弦函数的数学表达式是式中,A 为正弦函数的幅值或振幅,为振荡角频率。当 A=1 时,正弦函数称为单位正弦函数,其拉普拉斯变换为第3章 控制系统时域分析法在实际控制系统中,当输入信号具有周期变化特性时,可采用正弦函数作为典型输入信号。如机车设备上受到的振动力、伺服振动台的输入信号、电源及机械振动噪声等。正弦函数主要用于频率域分析中。对同一系统,不论选择哪种典型输入信号,其响应过程所表征的系统特性是一致的。因此,对各种控制系统特性进行比较研究时,通常采用单位阶跃函数作为典型输入信号。第3章 控制系统时域分析法3.1.2 时域性能指标时域性能指标对于一个典型输入信号作
9、用下的控制系统,任何时间响应都是由动态响应和稳态响应两部分组成。动态响应是指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从初始状态到接近最终状态的响应过程,又称为暂态过程或动态过程。动态响应主要表现为衰减、发散或等幅振荡形式,可以提供系统的稳定性、响应速度和阻尼比等信息。显然,一个实际运行的控制系统,其动态响应必须是衰减的,即系统必须是稳定的。稳态响应是指系统在典型输入信号作用下,当时间 t 趋于无穷时系统输出量的表现形式,其表征系统输出量最终复现输入量的程度,提供有关稳态误差的信息,又称为稳态过程。第3章 控制系统时域分析法控制系统的时域性能指标通常根据系统的单位阶跃响应曲线确定,如某系统的单位阶跃
10、响应曲线如图 32 所示。因此用时域分析法分析和评价系统主要是分析系统的动态性能指标和稳态性能指标。注意:只有系统稳定,对于其动态性能和稳态性能的研究才是有意义的。因此,稳定是控制系统能正常运行的首要条件。控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数,与外加信号无关。第3章 控制系统时域分析法图 32 系统的典型阶跃响应及动态性能指标第3章 控制系统时域分析法1.动态性能指标动态性能指标延迟时间 td 阶跃响应曲线第一次达到其稳态值的一半所需的时间。上升时间 tr 一般定义为响应曲线从稳态值的 10%上升到稳态值的 90%所需的时间。对于有振荡的系统,也可定义为阶跃响应曲线首次达到稳态值所需的时
11、间。峰值时间 tp 阶跃响应曲线超过稳态值 h()到达第一个峰值所需的时间。调节时间 ts 阶跃响应曲线到达并保持在稳态值的允许误差带内(=0.05 或 0.02)所需的最短时间。除非特别说明,本书以后所说的调节时间均以稳态值的 5%(=0.05)误差带定义。第3章 控制系统时域分析法超调量%阶跃响应曲线越过稳态值第一次达到峰值时,越过部分的幅度与稳态值之比称为超调量,工程上常用百分率来表示:第3章 控制系统时域分析法上述各动态性能指标之间互有联系,因此,对于一个控制系统通常没有必要列举出所有动态性能指标;同样,由于它们之间互有联系,在设计系统时不可能对所有指标提出要求,因为这些要求有可能彼此
12、矛盾,以致在调节系统参数时顾此失彼。我国工程界目前习惯采用超调量%和调节时间 t s两项作为动态性能的主要指标。显然,%和 t s 都是越小越好,通常认为%不宜超过 50%,而 ts 则随被控对象本身的时间尺度可以有较大差别,如空中战机的转弯时间以秒计算,而大船的转弯时间以分钟计算。第3章 控制系统时域分析法 2.稳态性能指标稳态性能指标稳态误差是描述系统稳态性能的指标,是指时间 t 趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差,是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量,通常在阶跃函数、斜坡函数或抛物线函数作用下进行测量和计算(具体请参阅第 3.6 节)。应当指出,系统性能指标的确定应根据实际情况而
13、有所侧重。例如,民航客机要求飞行平稳,不允许有超调;歼击机则要求机动灵活,响应迅速,允许有适当的超调;对于一些启动之后便需要长期运行的生产过程(如化工过程等)则往往更强调稳态精度等。第3章 控制系统时域分析法3.2 一阶系统时域分析一阶系统时域分析凡是以一阶微分方程作为运动方程的控制系统,称为一阶系统。它是工程中最基本最简单的系统。一些控制元部件及简单系统如 RC 网络、发电机、空气加热器、液位控制系统等都可以用一阶系统来描述。第3章 控制系统时域分析法3.2.1 一阶系统数学模型一阶系统数学模型图 33 所示 RC 电路是最常见的一种一阶系统。图 33 RC 电路第3章 控制系统时域分析法第
14、3章 控制系统时域分析法其中,T 为时间常数,代表系统的惯性。c(t)和 r(t)分别为系统的输出信号和输入信号。假定该系统的初始条件为零时,得到描述一阶系统数学模型的传递函数的标准形式是第3章 控制系统时域分析法典型一阶系统的结构图如图 34 所示。注意:具有同一数学模型的所有线性系统,对同一输入信号的响应是相同的,区别仅在于物理意义的不同。下面分析一阶系统在典型信号输入作用下的响应过程,假定系统的初始条件为零。第3章 控制系统时域分析法3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应当一阶系统输入信号为单位阶跃函数 r(t)=1(t)时,系统单位阶跃响应的拉氏变换为系统单位阶跃响应
15、为系统误差响应为第3章 控制系统时域分析法由式(33)知,当初始条件为零时,一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线,式中的 1 为稳态分量,e-t/T 为瞬态分量,当 t 时,瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内,系统的响应都不会超过稳态值 1。由于该响应曲线具有非振荡特征,故也称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图 35 所示。第3章 控制系统时域分析法图 35 一阶系统单位阶跃响应曲线第3章 控制系统时域分析法一阶系统单位阶跃响应具有以下重要特点:(1)可通过实验确定一阶系统的时间常数 T。当 t=T 时,输出达到系统终值的63.2%,即当时间由 t=0 开始过了一个
16、时间常数 T 后,系统输出达到相应过程总变化量的63.2%,因此可通过实验方法确定一阶系统的时间常数 T。(2)系统响应曲线在 t=0 处其切线的斜率为 1/T,并随时间推移而下降。如果可以得到初始斜率特性,就可以确定一阶系统的时间常数 T。(3)系统响应曲线无超调,系统稳态误差为零。第3章 控制系统时域分析法根据动态性能指标的定义,一阶系统的动态性能指标为显然,峰值时间 t p 和超调量%都不存在。由于时间常数 T 反映系统惯性,因此,一阶系统惯性越小,响应过程越快;惯性越大,响应过程越慢。第3章 控制系统时域分析法【例例 31】已知某一阶系统的结构图如图 36所示。(1)若反馈系数 K=0
17、.1,试求该系统单位阶跃响应的调节时间 ts;(2)若要求 t s 0.1s,求此时的反馈系数 K。图 36 某一阶系统结构图第3章 控制系统时域分析法第3章 控制系统时域分析法(2)若要求 t s 0.1s,即要求从而求得此时反馈系数由此可知:对一阶系统而言,反馈加深可使调节时间减小。第3章 控制系统时域分析法例 31 中系统的单位阶跃响应的 MATLAB 程序如下:第3章 控制系统时域分析法3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲信号 (t)时,系统的输出响应称为脉冲响应。由于理想单位脉冲函数的拉氏变换为 R(s)=1,因此系统单位脉冲响应的拉氏变换
18、与系统的闭环传递函数相同。通常可以将单位脉冲输入信号作用于系统,根据被测定系统的单位脉冲响应,求得被测系统的闭环传递函数。第3章 控制系统时域分析法系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统单位脉冲响应为系统误差响应为第3章 控制系统时域分析法由式(36)知,当初始条件为零时,一阶系统单位脉冲响应的变化曲线是一条单调下降的指数曲线,如图 37 所示,系统稳态误差为零,系统脉冲响应的调节时间为由此可以得出,系统的惯性越小,响应过程的持续时间越短,从而系统响应输入信号的快速性越好。第3章 控制系统时域分析法求系统单位脉冲响应的 matlab 函数为 impulse(),如例 31 中求系统单位脉冲响应可采用
19、 impulse(sys)语句。图 37 一阶系统的单位脉冲响应曲线第3章 控制系统时域分析法在工程实际中,不可能得到理想的单位脉冲函数,而近似用具有一定宽度和有限幅度的窄脉冲来代替理想脉冲。为减小近似误差,要求实际脉冲函数的宽度 h 与系统的时间常数 T 相比应该足够小,通常要求 h 0.1 T。第3章 控制系统时域分析法3.2.4 一阶系统的单位斜坡一阶系统的单位斜坡(速度速度)响应响应当一阶系统的输入信号为单位斜坡信号 r(t)=t 时,系统输出响应的拉氏变换为系统的单位斜坡响应为系统的误差响应为第3章 控制系统时域分析法由式(39)知,(t-T)为稳态分量,T e-t/T 为瞬态分 量
20、。一阶 系统的单位 斜坡响应曲 线如 图38 所示。当 t 时,瞬态分量衰减到零,稳态分量是一个与输入斜坡信号斜率相同但时间滞后T 的斜坡函数。由式(310)知,当时间 t 时,误差为常值,即该系统在位置上存在稳态跟踪误差,其值正好等于时间常数 T。显然,系统的惯性越小,跟踪的准确度越高。同样,减小时间常数,也可以减小瞬态响应的时间。第3章 控制系统时域分析法图 38 一阶系统的单位速度响应曲线第3章 控制系统时域分析法连续系统对任意输入函数的响应可利用Matlab 的函数 lsim()来实现,如例 31 中求系统斜坡响应可采用如下 ATLAB 程序:第3章 控制系统时域分析法第3章 控制系统
21、时域分析法由式(312)知,跟踪误差随时间推移而增大,而时间 t 时,跟踪误差将增至无穷大。这就说明,对一阶系统来说,不能实现对加速度输入的跟踪。一阶系统对典型信号的响应归纳如表 31 所示。从表中可见,系统对输入信号导数的响应,就等于系统对该输入信号响应的导数;系统对输入信号积分的响应,就等于系统对该输入信号响应的积分,积分常数由零初始条件确定。这是线性定常系统的一个重要特性,但不适用于线性时变系统和非线性系统。因此,研究线性定常系统的时间响应,往往只取其中一种典型形式进行研究即可。第3章 控制系统时域分析法第3章 控制系统时域分析法3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析凡是以二阶微分
22、方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统。在分析或设计系统时,二阶系统的响应特性常被视为一种基准。在实际控制工程中二阶系统的实例很多见,而且三阶或更高阶系统有可能用二阶系统去近似,或者其响应可以表示为一、二阶系统响应的合成。因此,研究二阶系统的分析和计算方法,有较大的实际意义。第3章 控制系统时域分析法3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型设一伺服系统原理图如图 39 所示,其任务是控制机械负载的位置,使其与参考位置相协调。该系统的工作原理:用一对电位计作为系统的误差测量装置,它们可以将输入和输出位置信号转换为与位置成正比的电信号。输入电位计电刷臂的角位置 r 由控制输入信号确定,而
23、输入电位计的电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比,输出电位计电刷臂的角位置 c 由输出轴的位置确定,同样与输出电位计电刷臂上的电位成正比。第3章 控制系统时域分析法图 39 伺服系统原理图第3章 控制系统时域分析法电枢回路电压式中,K s 为电位器传递函数;K A 为具有很高输入阻抗和很低输出阻抗的放大器的增益。放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上,对于电枢电路式中,L a、R a 为电动机电枢绕组的电感和电阻;K b 为电动机的反电势常数;为电动机轴的角位移。第3章 控制系统时域分析法电动机激磁绕组上加有固定电流。如果出现误差信号,电动机就产生力矩以转动输出负载,使误差信号减少到零。
24、当激磁电流固定时,电动机产生的力矩(电磁转距)为式中,C m 为电动机的转矩系数;i a 为电枢电流。电动机的力矩平衡方程为:式中,J 为电动机负载和齿轮传动装置折合到电动机轴上的组合转动惯量;f 为电动机负载和齿轮传动装置折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。第3章 控制系统时域分析法设齿轮传动比为 i,则有将上述等式进行拉氏变换,得到下列等式第3章 控制系统时域分析法根据上面的表达式,可以画出系统的结构图如图 310 所示。图 310 伺服控制系统结构图第3章 控制系统时域分析法可分析得系统的开环传递函数为第3章 控制系统时域分析法如果略去电枢电感 L a,则有可见由于电动机反电势的 K b 存
25、在,增大了系统的粘性摩擦。第3章 控制系统时域分析法则在不考虑负载力矩的情况下,伺服系统的开环传递函数可简化为相应的闭环传递函数为第3章 控制系统时域分析法为了使研究的结果具有普遍意义,可将上式表示为如下标准形式第3章 控制系统时域分析法图 311 标准形式二阶系统结构图第3章 控制系统时域分析法令式(318)的分母多项式为零,得到的等式称为二阶系统的特征方程其两个特征根(即闭环极点)为二阶系统的时间响应取决于 和 n 这两个参数。注意,对于不同的二阶系统,和 n的物理含义不同。第3章 控制系统时域分析法3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应根据式(320)可知,若系统阻尼比
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