《自动控制原理》课件第8章 (2).ppt
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1、第8章 状态空间分析方法 第第8章章 状态空间分析方法状态空间分析方法 8.1状态空间的基本概念状态空间的基本概念 8.2系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式 8.3传递矩阵、传递矩阵、特性方程和线性变换特性方程和线性变换 8.4线性离散系统的状态空间表达式线性离散系统的状态空间表达式 8.5状态方程的求解及状态转移矩阵状态方程的求解及状态转移矩阵 8.6线性系统的可控性和可观性线性系统的可控性和可观性 8.7控制系统的状态空间综合法控制系统的状态空间综合法 第8章 状态空间分析方法 8.1 状态空间的基本概念状态空间的基本概念第8章 状态空间分析方法 图8-1 RL网络 第8章 状态空间
2、分析方法 时网络回路方程为(8-1)上式两边取拉氏变换,得 将上式进行拉氏反变换,得 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 从计算的角度来说,由于状态空间分析法是时域的方法,特别适合于用数字计算机来计算。采用计算机能使工程技术人员摆脱复杂的数字运算,而专心致力于解决问题的方案分析,这是状态空间分析法的一个优点。值得注意的一点是,状态变量并不一定是表示系统的物理量。不可测量和不可观察的物理量都可选作状态变量。选择状态变量的这种自由性是状态空间分析法的另一
3、个优点。第8章 状态空间分析方法 图8-2 RLC网络 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 可得:(8-2)第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 图8-3 二阶液位系统第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法(8-3)第8章 状态空间分析方法 输入变量是人们按照控制的要求,通过控制元件作用于系统的变量,它可根据控制要求在规定范围内改变;扰动变量是外界对系统的一种干扰作用,是客观存在的变量。第8章 状态空间分析方法(2)输出变量,它是对象的被控变量,是系统对输入变量的响应,设有m个输出变量y1,y2,ym,若用向量形式表示,则构成维向量,记作 输出变量可以
4、通过仪器来测量。第8章 状态空间分析方法(3)状态变量:如前所述,是能完全表示系统状态的最少数目的一组变量,从数学上看,有时是一组中间变量x1,x2,xm。设有个状态变量,则构成维向量,记作 注意:注意:状态变量的选择并非是唯一的。例如在例8-1中也可以选择作为状态变量。由于状态变量是描述系统的最少数目的一组变量,因此,一组状态变量必须是线性无关的集合。第8章 状态空间分析方法 8.1.2状态方程和输出方程状态方程和输出方程1、状态方程、状态方程在状态空间分析法中,对于连续系统,是用状态变量构成的个一阶微分方程组来描述系统的,称为状态方程,而个一阶微分方程可以用一个一阶矩阵微分方程来表示,称为
5、矩阵状态方程。采用矩阵表示的方法,可大大简化系统的数学描述。对于全部由离散元件构成的离散系统,状态方程是个一阶差分方程组或一个一阶矩阵差分方程。第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 图8-4 多输入/多输出系统第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 3.状态空间分析法的优越性状态空间分析法的优越性状态空间分析法归纳起来有如下优点:(1)对于连续系统,状态空间分析法把一个n阶微分方程化为n个一阶微分方程组来描述系统的动态特征,这有利于计算机求解。(2)由于状态空间分析法采用矩阵形式表示,可大为
6、简化系统的数学描述。也就是说,当状态变量、输入变量和输出变量的数目增加时,并不会增加状态方程在形式上的复杂性。实际上,用状态空间分析法分析一个复杂的多输入多输出系统,可采用类似于分析一个一阶纯量(标量)微分方程所描述的系统的方法来解决。(3)状态空间分析法能够考虑系统的初始条件的影响,而且可应用于某些非线性系统和时变系统。第8章 状态空间分析方法 8.2系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式 8.2.1由高阶微分方程式导出系统的状态空间表达式由高阶微分方程式导出系统的状态空间表达式1.单输入单输入单输出的单输出的n阶线性定常系统,阶线性定常系统,输入不含导数项输入不含导数项设单变量线性定常n
7、阶系统的微分方程为(8-8)式中,y(t)为输出变量,u(t)为输入变量。第8章 状态空间分析方法(8-9)第8章 状态空间分析方法 则式(8-8)可化为n个一阶微分方程组,也就是状态方程 由于输出变量为y(t),所以其输出方程为 y=x1 第8章 状态空间分析方法 将上式写成向量矩阵形式为(8-10)第8章 状态空间分析方法 例例8-3设系统的微分方程为 试求系统的状态空间表达式。解解选取状态变量为 第8章 状态空间分析方法 用矩阵方程表示,则其状态方程和输出方程为 或 第8章 状态空间分析方法 式中 第8章 状态空间分析方法 例例8-4如图8-5所示的闭环控制系统,其开环传递函数为,试求其
8、闭环控制系统的状态空间表达式。图8-5例8-4闭环系统 第8章 状态空间分析方法 解解由图可得系统的闭环传递函数 其相应的微分方程为 取状态变量为 第8章 状态空间分析方法 则闭环控制系统的状态方程和输出方程为 于是矩阵形式为 式中 第8章 状态空间分析方法 2.单输入单输入单输出单输出n阶线性定常系统,阶线性定常系统,输入函数含有输入函数含有导数项导数项以二阶系统为例,设其微分方程为(8-11)由微分方程可知,输入函数项出现导数,若仍按上述方法简单地取x1=y,x2=y作为状态变量,则状态方程为 第8章 状态空间分析方法 显然,在状态方程中,u也出现导数项,这是不利于求解的,所以应考虑选择新
9、的状态变量,而且使得到的状态方程仍为标准形式。若要求得到的状态方程和输出方程的形式为(8-12)(8-13)第8章 状态空间分析方法 那么,现在的问题就是如何确定常数0,1,2。将式(8-13)取导数并将式(8-12)代入可得(8-14)(8-15)将式(8-13)、(8-14)和(8-15)代入式(8-11),可得 第8章 状态空间分析方法 比较上式各项导数项系数,并分别相等,可得 则 则 第8章 状态空间分析方法 所以,新的状态变量应取为 其初始条件可由下式确定 其状态方程和输出方程可由(8-12)和(8-13)式得到 第8章 状态空间分析方法 以此类推,将上述方法推广到n阶系统的情况,设
10、n阶系统的微分方程为(8-16)同理,可取状态变量为(8-17)第8章 状态空间分析方法 其中,(8-18)则n阶系统的状态方程和输出方程为(8-19)第8章 状态空间分析方法 其中,第8章 状态空间分析方法(8-20)其初始条件事由式(8-17)确定。第8章 状态空间分析方法 例例8-5设系统的微分方程为 试求系统的状态空间表达式。解解根据上述原则,选取状态变量为 第8章 状态空间分析方法 式中各待定系数为 则系统的状态方程为输出方程为 第8章 状态空间分析方法 3.多变量系统的状态空间表达式多变量系统的状态空间表达式前面讨论的都局限于单输入单输出的情况,这样的系统称为单变量系统(SISO)
11、。若输入和输出有两个或两个以上时,这样的系统称为多输入多输出系统(MIMO)。这时,输入和输出亦应该用向量形式表示,下面介绍输入函数不含导数项的情况,关于输入函数含有导数的情况请参阅其他文献。设两变量系统的微分方程为(8-21)第8章 状态空间分析方法 初始条件为 该系统为两个输入和两个输出的多变量系统,并且输出y1、y2均为二阶,所以各需要两个状态变量,设其状态变量为(8-22)第8章 状态空间分析方法 则 其状态方程为(8-23)第8章 状态空间分析方法 输出方程为(8-24)第8章 状态空间分析方法 8.2.2由传递函数导出状态空间表达式由传递函数导出状态空间表达式由传递函数导出状态空间
12、表达式有多种方法,其一是先将传递函数化为微分方程形式,然后按上述的方法再导出状态空间表达式;其二是由传递函数的分解方法导出状态空间表达式;其三是可用下面所介绍的由传递函数转化为状态变量图,再由状态变量图求出状态空间表达式。第8章 状态空间分析方法 1.状态变量图状态变量图状态变量图是由加法器、积分器和比值器等组成,如图8-6所示。因而可进行相加、积分和相乘运算,它可以用方块图和信号流图两种形式表示。其中方块图形式和计算机的模拟图相似。图8-6状态变量图 第8章 状态空间分析方法 在状态变量图中,积分器是处理微分和积分关系的基本元件,其输出表示状态变量,当求解状态的转移问题时,对积分的运算应引入
13、初始条件。1)状态变量图的模拟图形式现以二阶系统为例来说明,设该二阶系统的状态方程和输出方程为(8-25)第8章 状态空间分析方法 化为积分方程形式为(8-26)由式(8-26)即可绘出状态变量图的模拟图,如图8-7所示。第8章 状态空间分析方法 图8-7二阶系统的状态变量图的模拟图第8章 状态空间分析方法 2)状态变量图的信号流图形式如果取各状态变量的拉氏变换式作为节点,而把积分和比值运算都看成各支路的增益,则可作出状态变量图的信号流图形式。设 拉氏变换得 整理得 其信号流图如图8-8所示。第8章 状态空间分析方法 图8-8 信号流图形式第8章 状态空间分析方法 同理,将式(8-25)取拉氏
14、变换并整理得 其二阶系统的状态变量图的信号流图形式如图8-9所示。第8章 状态空间分析方法 图8-9二阶系统状态变量图的信号流图 第8章 状态空间分析方法 将各节点写成时间域的形式,则由信号流图各节点之间的相互关系同样可直接写出该系统的状态空间表达式。将上述情况推广到一般情况,对于r个输入变量、m个输出变量和n个状态变量的系统,其状态空间表达式为 式中X,u,y均为多维向量,A,B,C,D为相应的系数矩阵,其状态变量图的模拟图形式和信号流图形式如图8-10(a)、(b)所示,图中双线箭头表示向量。第8章 状态空间分析方法 图8-10多变量系统的向量状态变量图(a)模拟图;(b)信号流图 第8章
15、 状态空间分析方法 状态变量图的重要性在于它和状态方程、计算机模拟、微分方程以及传递函数之间有着紧密的联系,主要表现在以下几个方面:(1)由系统的微分方程能直接构成状态变量图。(2)由系统的传递函数也能构成状态变量图。(3)状态变量图能用于构成模拟计算机的系统程序,也能用于数字模拟。(4)在拉氏变换域上,由状态变量图借助信号流图公式,可以得到状态转移方程。(5)由状态变量图能够得到系统的传递函数。(6)由状态变量图能够求出状态方程和输出方程。第8章 状态空间分析方法 2.由传递函数导出状态空间表达式由传递函数导出状态空间表达式用状态变量图可以很容易地由传递函数导出状态空间表达式。其方法是先由传
16、递函数构成状态变量图,即所谓传递函数的分解,然后再由状态变量图导出状态方程和输出方程。常用的传递函数分解方法有如下三种:1)直接分解法直接分解法适用于传递函数不是因式分解的形式。设系统的微分方程形式为 第8章 状态空间分析方法 其传递函数为(8-27)首先,由传递函数导出状态变量图,其步骤如下:(i)先将传递函数转换成积分形式,即用分母最高次项s3除以式(8-27)的分子、分母可得(8-28)(ii)再将上式的分子、分母乘以E(s)第8章 状态空间分析方法(iii)令上式等式两边分子、分母分别相等可得(8-29)(8-30)(iv)将式(8-30)改写成(8-31)(v)利用积分器的积分作用,
17、即输出与输入之间有s-1的关系,因此,可用三个积分器得到s-1E(s),s-2E(s),s-3E(s)信号,再按式(8-29)和(8-31)的关系即可画出状态变量图,如图8-11所示。第8章 状态空间分析方法 图8-11直接分解的状态变量图第8章 状态空间分析方法 其次,由状态变量图导出状态空间表达式。将各节点写成时间域的变量,三个积分器的输出分别设为三个状态变量x1(t)、x2(t)、x3(t),那么从状态变量图即可得到状态方程和输出方程 第8章 状态空间分析方法 写成矩阵形式为(8-32)第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 图8-12直接分解的信号流图 第8章 状态空间分析
18、方法 同理,由信号流图可以直接得出系统的状态空间表达式。由此可知,直接分解可以用来将输入函数具有导数项的高阶微分方程化为状态空间表达式,该方法比前述方法更加方便。第8章 状态空间分析方法 2)并联分解法并联分解法适用于传递函数的分母是因式分解的形式,而分子仍是多项式的情况。其方法是先将传递函数分解成部分分式;然后再画出状态变量图;最后从状态变量图导出状态空间表达式。部分分式的基本单元为(8-33)利用直接分解的方法,由基本单元画出状态变量图和信号流图。其具体做法是由式(8-33)可得 第8章 状态空间分析方法 所以 即其图形如图8-13(a),(b)所示。第8章 状态空间分析方法 图8-13并
19、联分解基本单元图形(a)基本单元状态变量图;(b)基本单元信号流图 第8章 状态空间分析方法 仍利用前面的例子来说明,其传递函数为 首先,将上式化为部分分式形式,再利用基本单元导出变量图或信号流图。该系统的状态变量图或信号流图是由三个基本单元并联而成的。如图8-14(a)、(b)所示。第8章 状态空间分析方法 图8-14(a)状态变量图;(b)信号流图第8章 状态空间分析方法 其次,由状态变量图(或信号流图)可导出系统的状态空间表达式。选取积分器的输出为状态变量,如图所示,则其状态方程为 输出方程为 第8章 状态空间分析方法 写成矩阵形式为(8-34)以上是传递函数具有彼此不等的极点情况。若传
20、递函数中具有重极点,应该如何处理呢?第8章 状态空间分析方法 下面我们就讨论具有重极点的情况。假设传递函数为(8-35)第8章 状态空间分析方法 图8-15式(8-35)的信号流图 第8章 状态空间分析方法 由以上状态变量图可得状态方程和输出方程 即 第8章 状态空间分析方法 具有以上形式的系数矩阵A称为约当矩阵。通过上面的具体分析,可以得出并联分解的两个优点。(1)当由部分分式分解后传递函数只有相异极点时,其状态方程的系数矩阵A总是对角线矩阵,因此并联分解法能用于矩阵的对角线化。(2)当传递函数具有多重极点时,用并联分解得到的状态变量图,其积分器数目是最少的。如在式(8-35)的分解中,它是
21、一个三阶的传递函数,化为因式分解形式后,需要的积分器总阶数是4。采用并联分解的方法,可以使一个积分器公用,所以只需要三个积分器,三阶传递函数用三个积分器来构成状态变量图,其积分器数目是最少的,这种分解方法,称为系统的最小实现。第8章 状态空间分析方法 3)串联分解法串联分解法是将传递函数化成因式分解的形式,即基本因子的连乘形式,然后再画出状态变量图,最后由状态变量图求出状态空间表达式。连乘形式的基本单元为(8-36)用直接分解法可将此基本单元画成状态变量图。将上式右边分子、分母同乘以E(s)可得 第8章 状态空间分析方法 所以 其基本单元的状态变量图和信号流图如图8-16所示。仍利用前面的例子
22、来说明。其传递函数为(8-37)这样就可按以上基本单元串联而构成状态变量图和信号流图,如图8-17(a)、(b)所示。第8章 状态空间分析方法 图8-16串联分解的基本单元(a)状态变量图;(b)信号流图第8章 状态空间分析方法 图8-17式(8-37)的状态变量图和信号流图(a)状态变量图;(b)信号流图 第8章 状态空间分析方法 取积分器的输出为状态变量,如图8-17(a)所示,则状态方程和输出方程为 其矩阵形式为(8-38)第8章 状态空间分析方法 8.3传递矩阵、特征方程和线性变换传递矩阵、特征方程和线性变换8.3.1传递矩阵的概念传递矩阵的概念在单输入单输出系统中常用传递函数来描述系
23、统的动态特性,把传递函数概念推广到多变量系统中,输入和输出拉氏变换之间的关系可用传递矩阵来表示。以两变量系统为例来说明。如图8-18所示的两变量系统,当初始条件为零时,其输出的拉氏变换可表示为 第8章 状态空间分析方法 写成矩阵形式为(8-39)即:(8-40)式中 称为传递矩阵,它反映了初始条件为零时,输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的关系。将这一概念推广到r个输入,m个输出的系统,即可得到一般情况下多变量系统的输入、输出关系。第8章 状态空间分析方法 图8-18多变量系统 第8章 状态空间分析方法 对于r个输入,m个输出的系统,其关系为(8-41)或 这时G(s)是mr维矩阵,其
24、中元素Gij(s)表示第j个输入对第i个输出的传递函数。第8章 状态空间分析方法 1.由状态方程导出传递矩阵由状态方程导出传递矩阵设多变量系统的状态方程和输出方程为 当初始条件为零时,对上述两式取拉氏变换得 将式(8-42)移项得 第8章 状态空间分析方法 用(sI-A)-1左乘上式两边,可得 所以 这样,由状态空间表达式得出的传递矩阵为(8-44)注意:单变量系统相当于多变量系统的一种特殊情况,所以式(8-44)也适用于单变量系统,由该式求得的就是传递函数。第8章 状态空间分析方法 2.闭环系统的传递矩阵闭环系统的传递矩阵 如图8-19所示的多输入多输出闭环系统,其传递矩阵G(s)的推导如下
25、。图8-19多输入多输出闭环系统第8章 状态空间分析方法 因 而 所以 移项后得 再用I+GK(s)H(s)-1左乘上式两边,可得 第8章 状态空间分析方法 这样闭环系统的传递矩阵为(8-45)若取H(s)=1,可得(8-46)下面举例说明传递矩阵的求法。第8章 状态空间分析方法 例例8-6设系统的状态空间表达式为 试求该系统的传递矩阵。第8章 状态空间分析方法 解解由上式可知,利用式(8-43)即可求出系统的传递矩阵。首先确定 第8章 状态空间分析方法 再求 第8章 状态空间分析方法 所以,其传递矩阵为 第8章 状态空间分析方法 例例8-7设系统的状态空间表达式为 试求该系统的传递矩阵。解解
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