《自动控制原理》课件第4章 (2).ppt
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1、第4章根轨迹法 第第4章根轨迹法章根轨迹法 4.1根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 4.2绘制根轨迹的一般规则绘制根轨迹的一般规则 4.3控制系统根轨迹分析控制系统根轨迹分析 4.4广义根轨迹广义根轨迹 第4章根轨迹法 4.1根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 4.1.1基本概念基本概念所谓根轨迹,是指当系统开环传递函数某个参数由零变化到无穷大时,其对应系统闭环极点在s平面上移动的轨迹。在介绍图解法之前,先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。设控制系统如图41所示。第4章根轨迹法 图41控制系统的结构图 第4章根轨迹法 4.1.1基本概念基本概念所谓根轨迹,是指当系统开环传递函数某个参数由零变化
2、到无穷大时,其对应系统闭环极点在s平面上移动的轨迹。在介绍图解法之前,先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。设控制系统如图41所示。第4章根轨迹法 系统的闭环传递函数(41)系统特征方程(42)系统特征方程的根 第4章根轨迹法 第4章根轨迹法 图42图41的根轨迹 第4章根轨迹法 (4)1/4K0,系统闭环极点全部位于s平面的左半部,系统是稳定的;K=0,系统传递函数有s1=0的极点,这个极点也是开环极点,所以是型系统,在阶跃输入作用下,其稳态误差ess=0;0K1/4为欠阻尼状态,而且K越大,阻尼越小,超调量越大,而稳态误差越小,稳定性不变。(2)根据性能指标的要求,可以很快地确定出系统闭环
3、特征方程的根的位置,确定出可变参数的大小,便于设计和综合系统。第4章根轨迹法 4.1.3根轨迹方程根轨迹方程根据伊凡思提出的方法,用来绘制根轨迹的方程式称为根轨迹方程。就其实质来说,根轨迹方程就是闭环的特征方程式,其求取步骤如下:(1)写出反馈系统的特征方程,即(43)式中,G(s)为反馈系统前向通道传递函数;H(s)为反馈系统主反馈通道传递函数;G(s)H(s)为反馈系统的开环传递函数。第4章根轨迹法(2)绘制反馈系统根轨迹的根轨迹方程,即(4-4)绘制反馈系统根轨迹之前,需将根轨迹方程中的开环传递函数G G(s)H(s)化成通过极点与零点表达的标准形式,即 第4章根轨迹法 第4章根轨迹法
4、(3)式(45)可进而表示幅值条件方程和相角条件方程,即第4章根轨迹法 第4章根轨迹法 4.1.4根轨迹方程的应用根轨迹方程的应用1.用相角条件方程求根轨迹曲线用相角条件方程求根轨迹曲线根据相角条件方程可判断s平面上的点是否在根轨迹上,这样就可以用试探法来绘制根轨迹。选择若干次试验点,检查这些点是否满足相角条件方程,用那些满足相角条件方程的点连成根轨迹,这就是绘制根轨迹的试探法。第4章根轨迹法 2.用幅值条件方程确定用幅值条件方程确定K*的值的值应用幅值条件方程,可确定根轨迹上各点所对应的K*值。用试探法绘制根轨迹是很麻烦的。实际绘制根轨迹时,是根据一些基本规则描绘出近似的根轨迹,再利用试探法
5、在根轨迹的重要部分进行修正。第4章根轨迹法 4.2绘制根轨迹的一般规则绘制根轨迹的一般规则 4.2.1根轨迹的分支数根轨迹的分支数反馈系统的根轨迹是其特征方程的根随系统参数的变化而改变其在s平面分布格局的曲线。显然,若系统的特征方程为n阶而有n个根,则必然存在反映这n个根随参变量K*的变化在s平面上描绘的n条轨迹线。绘制根轨迹的基本原则一:根轨迹的分支数等于反馈系统特征方程的阶数n,或者说根轨迹的分支数与闭环极点的数目相同。第4章根轨迹法 4.2.2根轨迹的连续性与对称性根轨迹的连续性与对称性从式(46)求得:第4章根轨迹法 4.2.3根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点根轨迹的起点是指参变量
6、K*=0时,闭环极点在s平面上的分布位置而言,而根轨迹的终点则是K*时闭环极点在s平面上的分布位置。基于式(43)和(45),系统的根轨迹方程可写成如下形式 第4章根轨迹法 第4章根轨迹法 图43例4.1图 第4章根轨迹法 4.2.4根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线如果开环零点数m小于开环极点数n,则当系统的开环增益K*,将有n-m条根轨迹趋于s平面上的无穷远处。绘制根轨迹的基本原则四:若反馈系统的开环零点数目m小于其开环极点数目n,则当K*时,趋向无穷远处的根轨迹共有(n-m)条,这(n-m)条根轨迹趋向无穷远处的方位可由渐近线确定。这些渐近线在实轴上共交于一点。第4章根轨迹法 渐近线与实轴正方
7、向的夹角(410)渐近线与实轴的交点(411)第4章根轨迹法 第4章根轨迹法 或 渐近线与实轴的交点为 第4章根轨迹法 4.2.5实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹绘制根轨迹的基本原则五:在实轴上任取一点,若在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数,则该点所在线段构成实轴上的根轨迹。此结论可用相角条件方程来说明。若开环零、极点分布如图44所示。在实轴上任取一点s1,连接所有的开环零、极点。由于复数零点、复数极点都对称于实轴,因此,复数零点、复数极点的相角大小相等,符号相反。可见,它们对于相角条件没有影响,即复数零、极点对实轴上的根轨迹没有影响。因此只要分析位于实轴上的开环零、极点情况即可。由于位
8、于s1点左侧的零、极点到s1点的向量,总是指向坐标原点,故它们所引起的相角总为零。只有s1右侧零、极点构成的相角才为-180,故根据相角条件,说明只有实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为奇数时,才能满足相角条件。第4章根轨迹法 图44 开环零、极点分布图第4章根轨迹法 例例4.3已知单位负反馈系统的开环传递函数,式中T,试大致画出其根轨迹图。解解首先将G(s)化成标准形式 式中,第4章根轨迹法 由标准形式可知,开环有两个极点p1=0,p2=-1/T,开环有一个零点z1=-1/,亦即n=2,m=1。故应有两条根轨迹。当K=0时,两条根轨迹从开环极点开始;当K时,由于nm,其中一条根轨迹终
9、止于开环零点z1,另一条趋于无穷远处。实轴上,(p1,z1),(p2,-)为根轨迹区段。根轨迹如图45所示。第4章根轨迹法 图45例4.3根轨迹 第4章根轨迹法 4.2.6根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点两条根轨迹分支在s平面上的某点相遇,然后又立即分开的点,叫作根轨迹的分离点(或会合点)。它对应于特征方程中的二重根。由于根轨迹具有共轭对称性,分离点与会合点必须是实数或共轭复数对。在一般情况下,分离点与会合点位于实轴上。可用下式确定根轨迹的分离点。(412)第4章根轨迹法 在一般情况下,如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间,则这两极点之间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于两相邻开
10、环零点之间(其中一个零点可位于无穷远处),那么,这两个零点之间至少存在一个会合点。绘制根轨迹的基本原则六:根轨迹与实轴的交点坐标是方程的根。注意:根轨迹与实轴的交点包括根轨迹部分分支离开实轴伸向复平面时的分离点以及根轨迹部分分支由复平面进入实轴时的会合点。在会合点处,根轨迹分支与实轴像在分离点那样,也是互相垂直的。第4章根轨迹法 例例4.4已知单位负反馈系统的开环传递函数为 确定根轨迹的分离点并大致绘出其根轨迹图。解解(1)开环零点:无;开环极点:0,-1,-2。(2)系统有3条根轨迹分支,起点为开环极点0,-1,-2。(3)0-1和-2-是实轴上的根轨迹。(4)渐近线。第4章根轨迹法 与实轴
11、的夹角:与实轴的交点:第4章根轨迹法(5)分离点。系统的特征方程式为 解之,可得分离点1=-0.423和2=-1.577。因为实轴上0-1和-2-是根轨迹段,可确定分离点坐标为-0.423,舍去2。如图46所示。第4章根轨迹法 图46例4.4根轨迹 第4章根轨迹法 4.2.7出射角与入射角出射角与入射角根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角,称为出射角。根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角,称为入射角。以图47所示开环极点与零点分布为例,计算开环复极点处根轨迹的出射角。为此,在无限靠近开环复极点p1的根轨迹上取一点A,对根轨迹上的点A可写出:第4章根轨迹法 图47根轨迹出
12、射角 第4章根轨迹法 根据同样的分析法,可写出在一般情况下计算根轨迹入射角的表达式 绘制根轨迹的基本原则七:始于开环复极点处的根轨迹的出射角按式(413)计算;止于开环复零点的根轨迹的入射角按式(414)计算。根据上述基本原则七,在绘制根轨迹图时,可以确定那些进出开环复零点与开环复极点的根轨迹分支的方向。第4章根轨迹法 例例4.5设单位负反馈的开环传递函数 求该系统的起始角和终止角。解解起始角 第4章根轨迹法 而z3=-149.5。第4章根轨迹法 4.2.8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交,意味着闭环极点中的一部分位于虚轴上,亦即反馈系统特征方程含有纯虚根s=j。因此,将s
13、=j代入系统特征方程1+G(s)H(s)=0,得到 由上式写出实部方程与虚部方程有 第4章根轨迹法 例例4.6设控制系统的开环传递函数为,试绘制系统的根轨迹。解解(1)系统的开环极点为0,-3,-1j,它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点-2,其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。(2)确定根轨迹的渐近线。渐近线的倾斜角为 第4章根轨迹法 取式中的l=0,1,2,得:a=/3,5/3或60,180。三条渐近线如图48中的虚线所示。渐近线与实轴的交点为(3)实轴上的根轨迹位于原点与零点-2之间以及极点-3的左边。从复数极点-1j出发的两条根轨迹分支沿6
14、0渐近线趋向无穷远处。(4)在实轴上无根轨迹的分离点。(5)确定根轨迹与虚轴的交点。第4章根轨迹法 系统的特征方程式为 即第4章根轨迹法 方法一:方法一:利用劳斯判据确定。劳斯行列表 第4章根轨迹法 若阵列中的s1行等于零,即(6+3K)-150K/(34-3K)=0,系统临界稳定。解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率由辅助方程 确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为=1.614。第4章根轨迹法 方法二:令s=j代入特征方程 得 第4章根轨迹法(6)确定根轨迹的出射角。根据绘制根轨迹的基本法则,自复数极点p3=-1+j出发的根轨迹的出射角为 将图
15、中测得的各向量相角的数值代入并取K=0,则得p3=-26.6,同理可得p4=26.6。系统的根轨迹如图48所示。第4章根轨迹法 图48 例4.6系统的根轨迹第4章根轨迹法 4.2.9闭环极点的和与积闭环极点的和与积设反馈系统的特征方程为 方程的根为s1,s2,sn,则由 第4章根轨迹法 根据代数方程根与系统间的关系,可写出对于稳定反馈系统,上式中的第二式可写成 可利用此性质判别闭环极点si的分布情况(418)第4章根轨迹法 这表明,在开环系统极点确定的情况下,系统n个开环极点和等于n个闭环极点和,其和为常值。当K*由0变化时,闭环极点之和保持不变,且等于n个开环极点之和。这意味着一部分闭环极点
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