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1、目录第一章函数与极限1.1复习笔记1.2课后习题详解习题1-1映射与函数习题1-2数列的极限习题1-3函数的极限习题1-4无穷小与无穷大习题1-5极限运算法则习题1-6极限存在准则两个重要极限习题1-7无穷小的比较习题1-8函数的连续性与间断点习题1-9连续函数的运算与初等函数的连续性习题1-10闭区间上连续函数的性质总习题一1.3考研真题详解第二章导数与微分2.1复习笔记2.2课后习题详解习题2-1导数概念习题2-2函数的求导法则习题2-3高阶导数习题2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率习题2-5函数的微分总习题二2.3考研真题详解第三章微分中值定理与导数的应用3.1复习笔记
2、3.2课后习题详解习题3-1微分中值定理习题3-2洛必达法则习题3-3泰勒公式习题3-4函数的单调性与曲线的凹凸性习题3-5函数的极值与最大值最小值习题3-6函数图形的描绘习题3-7曲率习题3-8方程的近似解总习题三3.3考研真题详解第四章不定积分4.1复习笔记4.2课后习题详解习题4-1不定积分的概念与性质习题4-2换元积分法习题4-3分部积分法习题4-4有理函数的积分习题4-5积分表的使用总习题四4.3考研真题详解第五章定积分5.1复习笔记5.2课后习题详解习题5-1定积分的概念与性质习题5-2微积分基本公式习题5-3定积分的换元法和分部积分法习题5-4反常积分习题5-5反常积分的审敛法函
3、数总习题五5.3考研真题详解第六章定积分的应用6.1复习笔记6.2课后习题详解习题6-1定积分的元素法习题6-2定积分在几何学上的应用习题6-3定积分在物理学上的应用总习题六6.3考研真题详解第七章微分方程7.1复习笔记7.2课后习题详解习题7-1微分方程的基本概念习题7-2可分离变量的微分方程习题7-3齐次方程习题7-4一阶线性微分方程习题7-5可降阶的高阶微分方程习题7-6高阶线性微分方程习题7-7常系数齐次线性微分方程习题7-8常系数非齐次线性微分方程习题7-9欧拉方程习题7-10常系数线性微分方程组解法举例总习题七7.3考研真题详解第一章函数与极限1.1复习笔记一、映射与函数1映射(1
4、)映射概念设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对X中每个元素x,按法则,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称为从X到Y的映射,记作,其中y称为元素x(在映射下)的像,并记作,即,而元素x称为元素y(在映射下)的一个原像;集合X称为映射的定义域,记作,即;X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记作或,即(2)映射三要素包括: 定义域; 值域; 对应法则(3)映射的特点对每个xX,元素x的像y是唯一的;而对每个,元素y的原像不一定是唯一的(4)满射设f是从集合X到集合Y的映射,若,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的满射(5)单射若对X中任意两个不同元素,它们的
5、像,则称为X到Y的单射(6)一一映射(双射)f既是单射,又是满射,则称 为一一映射(或双射)(7)逆映射与复合映射 逆映射设是X到Y的单射,则由定义,对每个,有唯一的xX,适合则可定义一个从到X的新映射g,即,对每个,规定,则x满足这个映射g称为f的逆映射,记作,其定义域,值域注:只有单射才存在逆映射 复合映射设有两个映射,其中,则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个xX映成fg(x)Z显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作,即 复合映射的条件在两个映射组成的复合映射中,g的值域Rg必须包含在f的定义域内,即2函数(1)函数的概念
6、 函数的定义设数集D R,则称映射:DR为定义在D上的函数,简记为,其中x称为自变量,y称为因变量D称为定义域,记作,即 函数值域函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域,记作或,即 相同函数所具备的的特点a定义域相同;b对应法则也相同 函数的表示方法表格法、图形法、解析法(公式法)(2)函数的性质 有界性a上界:若存在K1,对任意有,则称函数在上有上界,而K1称为函数在上的一个上界b下界:若存在K2,对任意有,则称函数在上有下界,而K2称为函数在上的一个下界c有界:若对任意,存在M0,总有,则称在I上有界 单调性a单调递增当时,b单调递减当时, 周期性a定义(T为正数)b最小正周期函
7、数所有周期中最小的周期称为最小正周期 奇偶性f(x)的定义域关于原点对称,则:a偶函数f(x)f(x),图形关于y轴对称b奇函数f(x)f(x),图形关于原点对称(3)反函数与复合函数 反函数的定义设函数f:Df(D)是单射,则它存在逆映射f1:f(D)D,称此映射f1为函数f的反函数 反函数的特点a当f在D上是单调递增函数,f1在f(D)上也是单调递增函数;b当f在D上是单调递减函数,f1在f(D)上也是单调递减函数;cf的图像和f1的图像关于直线yx对称,如图1-1-1所示 图1-1-1 复合函数a复合函数定义设函数yf(u)的定义域为,函数ug(x)的定义域为且其值域则函数称为由函数ug
8、(x)与函数yf(u)构成的复合函数,它的定义域为,变量u称为中间变量注:函数g与函数f构成的复合函数,即按“先g后f”的次序复合的函数,记为,即b构成复合函数的条件更多各类考试资料 v:344647 公众号:顺通考试资料 g与f能构成复合函数的条件是:函数g的值域Rg必须包含于函数f的定义域Df,即.(4)函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为,则可以定义这两个函数的下列运算(5)初等函数 5类基本初等函数 初等函数定义由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数二、数列的极限1数列极限的定义(1)数列的概念如果按照某一
9、法则,对每个,对应着一个确定的实数,这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列就称为数列,简记为数列(2)数列的项与通项数列中的每一个数称为数列的项,第n项称为数列的一般项(或通项)(3)数列极限 数列极限的定义设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数,总存在正整数N,使得当nN时,不等式都成立,则称常数a是数列的极限,又称数列收敛于a,记为或 数列发散如果不存在这样的常数a,称数列没有极限,或数列是发散的,即不存在 表达符号“对于任意给定的”写成“存在正整数N”写成数列极限的定义可表达为注: 表示“对于任意给定的”或“对于每一个”,表示“存在”2收敛数列的性质(1)唯一性如果数列收敛
10、,则它的极限唯一(2)有界性如果数列收敛,则数列一定有界 有界数列对于数列,如果存在正数M,使得对于一切都满足不等式,则称数列是有界的 无界数列对于数列,如果不存在正数M,使得对于一切都满足不等式,则称数列是无界的(3)保号性如果且a0(或a0),则存在正整数N0,当nN时,都有推论:如果数列从某项起有且,则a0(或a0)(4)收敛数列与其子数列间的关系 如果数列收敛于a,则它的任一子数列也收敛,且极限也是a 如果数列有两个子数列收敛于不同的极限,则数列是发散的 一个发散的数列也可能有收敛的子数列三、函数的极限1函数极限的定义(1)函数的极限在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于
11、某个确定的数,则这个确定的数就称为在这一变化过程中函数的极限(2)函数f(x)极限的两种情形 自变量x趋于有限值时函数的极限a定义设函数f(x)在点的某一去心邻域内有定义如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数使得当x满足不等式时,对应的函数值f(x)都满足不等式则常数A称为函数f(x)当时的极限,记作注:定义中表示,所以时f(x)有没有极限,与f(x)在点是否有定义并无关系e单侧极限左极限与右极限统称为单侧极限f时极限存在的充分必要条件左极限及右极限各自存在并且相等 自变量x趋于无穷大时函数的极限a定义设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义如果存在常数A,对于任意给
12、定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得当x满足不等式|x|X时,对应的函数值f(x)都满足不等式,则常数A就称为函数f(x)当时的极限,记作b简单表述2函数极限的性质(1)唯一性如果存在,则这极限唯一(2)局部有界性如果则存在常数M0和0,使得当时,有|f(x)|M(3)局部保号性 如果且A0(或A0),则存在常数使得当时,有 如果,则存在着的某一去心邻域当时,有 如果在的某去心邻域内f(x)0(或f(x)0),而且则A0(或A0)(4)函数极限与数列极限的关系如果极限存在,为函数f(x)的定义域内任一收敛于的数列,且满足:则相应的函数值数列必收敛,且四、无穷小与无穷大1无穷小如果函数
13、f(x)当(或)时的极限为零,则称函数f(x)为当(或)时的无穷小特别地,以零为极限的数列称为时的无穷小2无穷大(1)定义设函数f(x)在的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数(或正数X),只要x适合不等式(或|x|X),对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|M,则称函数是当时的无穷大(2)注意当时的无穷大的函数f(x)的极限是不存在的,也称“函数的极限是无穷大”,并记作如果在无穷大的定义中,把换成f(x)M(或f(x)M),就记作(3)渐近线设曲线yf(x) 斜渐近线ykxb特别地,当k0时,曲线有水平渐近线yb 垂直
14、渐近线若(或者左、右极限趋于无穷),则垂直渐近线为3无穷大与无穷小之间的关系在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,则为无穷小;反之,如果为无穷小,且f(x)0,则为无穷大五、极限运算法则1极限运算法则相关定理(1)定理1两个无穷小的和是无穷小有限个无穷小之和也是无穷小(2)定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2有限个无穷小的乘积是无穷小(3)定理3a推论1如果limf(x)存在,而c为常数,则b推论2如果存在,而n是正整数,则(4)定理4(5)定理5如果,而,则(6)定理6(复合函数的极限运算法则) 2时有理分式函数的极限设多项式则又设有理分式
15、函数其中P(x),Q(x)都是多项式,于是如果,则注:若则关于商的极限的运算法则不能应用,那就需要特别考虑六、极限存在准则及两个重要极限1极限存在准则(1)夹逼准则 夹逼准则1如果数列及满足下列条件:a从某项起,即当时,有;b,则数列的极限存在,且 夹逼准则2如果a当(或)时,;b,则存在,且等于A(2)单调有界准则单调有界数列必有极限 单调增加数列如果数列满足条件就称数列是单调增加的 单调减少数列如果数列满足条件就称数列是单调减少的 单调数列单调增加和单调减少的数列统称为单调数列(3)左极限存在准则设函数f(x)在点x0的某个左邻域内单调并且有界,则f(x)在x0的左极限必定存在(4)柯西极
16、限存在准则数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数,存在正整数N,使得当时,有2两个重要极限3常见函数的极限注:这里三个lim都表示在同一自变量变化过程中的极限4有关的不等式或七、无穷小的比较1相关无穷小的定义(1)高阶无穷小如果,则是比高阶的无穷小,记作(2)低阶无穷小如果,则是比低阶的无穷小(3)同阶无穷小如果,则与是同阶无穷小(4)k阶无穷小如果,则是关于的k阶无穷小(5)等价无穷小如果,则与是等价无穷小,记作2定理设且存在,则3常用的等价无穷小八、函数的连续性与间断点1函数的连续性(1)连续设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果则称函数yf(x)在点x0连续(2)左连续和
17、右连续 左连续如果存在且等于f(x0),即,则称函数f(x)在点x0左连续 右连续如果存在且等于f(x0),即,则称函数f(x)在点x0右连续 连续函数在区间上每一点都连续的函数,称为在该区间上的连续函数,又称函数在该区间上连续 有理分式函数的连续性对于有理分式函数,只要,则因此有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的2函数的间断点(1)函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义的三种情形 在xx0没有定义; 虽在xx0有定义,但不存在; 虽在有定义,且存在,但(2)函数间断点的定义函数f(x)在点x0处不连续,则称点x0为函数f(x)的不连续点或间断点 如果x0是函数f(x)的间断点,但左极
18、限及右极限都存在,则x0称为函数f(x)的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点(3)函数间断点的类型 第一类间断点a可去间断点在间断点处函数左右极限相等b跳跃间断点在间断点处函数左右极限不相等 第二类间断点a无穷间断点在间断点处函数极限为无穷大(或无穷小)b振荡间断点在趋近间断点的过程中,函数值在某个区间内变动无限多次九、连续函数的运算与初等函数的连续性1连续函数的和、差、积、商的连续性设函数f(x)和g(x)在点x0连续,则它们的和(差)、积及商(当时)都在点x0连续2反函数与复合函数的连续性(1)反函数的连续性如果函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续,则它的反函数
19、也在对应的区间上单调增加(或单调减少)且连续(2)复合函数的连续性 定理1设函数由函数与函数复合而成,若,而函数连续,则 定理2设函数是由函数与函数复合而成,若函数在连续,且,而函数在连续,则复合函数在也连续3初等函数的连续性(1)基本初等函数在它们的定义域内都是连续的(2)一切初等函数在其定义区间内都是连续的定义区间,就是包含在定义域内的区间十、闭区间上连续函数的性质1函数f(x)在闭区间a,b上连续如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续,在左端点a右连续,则函数f(x)就是在闭区间a,b上连续2闭区间上连续函数的性质(1)有界性与最大值最小值定理 定理在闭区间上连续的函
20、数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值 最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x),如果有,使得对于任一,都有则称是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)(2)零点定理与介值定理 零点如果,则称为函数f(x)的零点 零点定理设函数f(x)在闭区间上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)0),则在开区间(a,b)内至少有一点,使 介值定理设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且在这区间的端点取不同的函数值则对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点,使得 推论在闭区间a,b上连续的函数f(x)的值域为闭区间m,M,其中m与M依次为f(x)在a,b上的最
21、小值与最大值3一致连续性(1)一致连续性定义设函数f(x)在区间I上有定义如果对于任意给定的正数,总存在正数,使得对于区间I上的任意两点x1、x2,当时,有则称函数f(x)在区间I上一致连续(2)一致连续与连续的关系如果函数f(x)在区间I上一致连续,则f(x)在区间I上一定连续;当f(x)在区间I上连续,f(x)在区间I上不一定一致连续(3)一致连续性定理如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则它在该区间上一致连续1.2课后习题详解习题1-1映射与函数1求下列函数的自然定义域:2下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同?为什么?解:(1)函数f(x)和g(x)不同,因其定义域不同(2)函数
22、f(x)和g(x)不同,因其对应法则不同,(3)函数f(x)和g(x)相同,因其定义域、对应法则均相同(4)函数f(x)和g(x)不同,因其定义域不同3设求,并作出函数的图形解:的图形如图1-2-1所示图1-2-14试证下列函数在指定区间内的单调性:(1);(2)yxlnx,(0,)证:(1)设x1x21因为所以f(x2)f(x1),即f(x)在(,1)内单调增加(2)yf(x)xlnx,(0,)设0 x1x2因为可得f(x2)f(x1),所以f(x)在(0,)内单调增加5设f(x)为定义在(l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在(l,0)内也单调增加证:设lx1
23、x20,则0 x2x1l,因为f(x)是奇函数,所以又因为f(x)在(0,1)内单调增加,所以,从而f(x2)f(x1),即f(x)在(l,0)内也单调增加6设下面所考虑的函数都是定义在区间(l,l)上的证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数证:(1)设f1(x),f2(x)均为偶函数,则f1(x)f1(x),f2(x)f2(x)令F(x)f1(x)f2(x),于是F(x)f1(x)f2(x)f1(x)f2(x)F(x)故F(x)为偶函数设g1(x),g2(x)均为奇函数,则g1(x)g
24、1(x),g2(x)g2(x)令,于是G(x)g1(x)g2(x)g1(x)g2(x)G(x)故G(x)为奇函数(2)设f1(x),f2(x)均为偶函数,则f1(x)f1(x),f2(x)f2(x)令,于是F(x)f1(x)f2(x)f1(x)f2(x)F(x)故F(x)为偶函数设g1(x),g2(x)均为奇函数,则g1(x)g1(x),g2(x)g2(x)令,于是故G(x)为偶函数设f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,则f(x)f(x),g(x)g(x)令,于是故H(x)为奇函数7下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非偶函数又非奇函数?解:(1)yf(x)x2(1x2),因为所以f(
25、x)为偶函数(2)yf(x)3x2x3,因为所以f(x)既非偶函数又非奇函数(3),因为所以f(x)为偶函数(4)yf(x)x(x1)(x1),因为所以f(x)为奇函数(5)yf(x)sinxcosx1,因为所以f(x)既非偶函数又非奇函数(6),因为,所以f(x)为偶函数8下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周期:(1)ycos(x2);(2)ycos4x;(3)y1sinx;(4)yxcosx;(5)ysin2x解:(1)是周期函数,周期l2(2)是周期函数,周期(3)是周期函数,周期l2(4)不是周期函数(5)是周期函数,周期l9求下列函数的反函数:解:(1)由解得xy31,
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